Fonctions numériques et représentations graphiques
Apprenez à définir une fonction, calculer des images, rechercher des antécédents et exploiter une courbe. Étudiez également les variations, les extrema, la parité et les principales fonctions usuelles du programme.
Une fonction décrit comment une grandeur dépend d’une autre
Prix en fonction d’une quantité, distance en fonction du temps, recette en fonction du nombre de ventes : les fonctions servent à modéliser de nombreuses situations. Elles peuvent être décrites par une formule, un tableau de valeurs ou une représentation graphique.
Calculer
Utiliser l’expression d’une fonction pour déterminer l’image d’un nombre ou rechercher ses antécédents.
Représenter
Placer des points dans un repère et tracer une droite ou une courbe à partir d’informations numériques.
Interpréter
Lire graphiquement un signe, une variation, un extremum, une intersection ou une position relative.
Une fonction n’est pas seulement une formule
Une fonction constitue une relation qui associe à chaque valeur autorisée de la variable un unique résultat. Elle peut être donnée par une formule, mais aussi par un tableau, une courbe ou une situation concrète.
Définir une fonction numérique
Une fonction numérique associe à un nombre x appartenant à son domaine de définition un unique nombre noté f(x).
L’écriture f : x ↦ f(x) se lit « la fonction f qui, à x, associe f(x) ». La lettre x désigne la variable et f(x) la valeur obtenue après application de la fonction.
La variable x
Elle représente le nombre choisi au départ. Sa valeur doit appartenir au domaine de définition de la fonction.
L’image f(x)
C’est le nombre obtenu lorsque la fonction est appliquée à x. Un nombre du domaine possède une seule image.
L’antécédent
Un antécédent d’un nombre y est une valeur x telle que f(x) = y. Un nombre peut posséder plusieurs antécédents, un seul ou aucun.
Soit la fonction f(x) = 2x² − 3x + 1. Calculons l’image de 2.
= 2 × 4 − 6 + 1
= 8 − 6 + 1
= 3
L’image de 2 par f est donc 3.
Pour la même fonction, vérifions si 2 est un antécédent de 3.
L’égalité est vérifiée : 2 est bien un antécédent de 3 par f.
Ne pas inverser image et antécédent
Si f(2) = 3, alors 3 est l’image de 2 et 2 est un antécédent de 3. Les deux formulations décrivent la même égalité, mais les rôles des nombres sont différents.
Déterminer le domaine de définition
Le domaine de définition, souvent noté Df, rassemble toutes les valeurs de x pour lesquelles l’expression de f(x) possède un sens mathématique.
Fonction polynomiale
Un polynôme est défini pour tout nombre réel. Son domaine est donc ℝ.
Fonction inverse
Le dénominateur ne doit pas être nul. Il faut donc exclure x = 4.
Fonction racine carrée
L’expression sous la racine doit être positive ou nulle : x + 3 ≥ 0, donc x ≥ −3.
| Type d’expression | Condition | Exemple de domaine |
|---|---|---|
| Polynôme | Aucune valeur réelle interdite. | Df = ℝ |
| Quotient | Le dénominateur doit être différent de zéro. | 1/x : Df = ℝ \ {0} |
| Racine carrée | L’expression sous la racine doit être positive ou nulle. | √x : Df = [0 ; +∞[ |
| Exponentielle | Définie pour tout réel. | Df = ℝ |
Déterminons le domaine de la fonction : f(x) = √(x − 2) / (x − 5).
Condition liée au quotient : x − 5 ≠ 0, donc x ≠ 5.
Df = [2 ; 5[ ∪ ]5 ; +∞[
La valeur 5 respecte la condition de la racine, mais elle annule le dénominateur : elle doit donc être retirée du domaine.
Calculer une image et rechercher des antécédents
Calculer une image consiste à remplacer x par une valeur donnée. Rechercher un antécédent revient à résoudre une équation de la forme f(x) = y.
Soit g(x) = x² − 4x + 6. Calculons g(−2).
= 4 + 8 + 6
= 18
L’image de −2 par g est 18.
Recherchons les antécédents de 6 par g(x) = x² − 4x + 6.
x² − 4x + 6 = 6
x² − 4x = 0
x(x − 4) = 0
x = 0 ou x = 4
Le nombre 6 possède deux antécédents : 0 et 4.
Une image est unique, les antécédents ne le sont pas toujours
Pour une valeur x donnée, une fonction ne peut fournir qu’une seule image. En revanche, plusieurs valeurs de x peuvent avoir la même image. Une valeur peut également ne posséder aucun antécédent.
Se repérer dans un repère orthonormé
Un point du plan est caractérisé par deux coordonnées. L’abscisse indique sa position horizontale et l’ordonnée sa position verticale.
Coordonnées d’un point
Le point A(2 ; 2) possède pour abscisse 2 et pour ordonnée 2. On se déplace d’abord horizontalement, puis verticalement.
Appartenance à une courbe
Un point A(a ; b) appartient à la courbe de f lorsque b = f(a). Il suffit donc de remplacer x par a et de vérifier l’égalité.
Position relative
Comparer f(x) et g(x) permet de déterminer quelle courbe est située au-dessus de l’autre pour une valeur de x donnée.
La courbe C représente la fonction f(x) = 3x − 1. Le point A(2 ; 5) appartient-il à C ?
= 6 − 1
= 5
L’ordonnée obtenue est égale à celle du point A. Le point A(2 ; 5) appartient donc à la courbe de f.
Lire et exploiter une représentation graphique
La courbe représentative d’une fonction f rassemble les points de coordonnées (x ; f(x)). Elle permet de lire approximativement des images, des antécédents, des signes et des variations.
Lire une image
Partir de la valeur de x sur l’axe horizontal, rejoindre la courbe, puis lire l’ordonnée correspondante.
Lire un antécédent
Partir de la valeur y sur l’axe vertical, rejoindre la courbe horizontalement, puis lire les abscisses obtenues.
Lire le signe
La fonction est positive lorsque sa courbe est au-dessus de l’axe des abscisses et négative lorsqu’elle est en dessous.
Résoudre une égalité
Les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection des courbes de f et de g.
| Question | Traduction graphique | Traduction algébrique |
|---|---|---|
| Calculer f(3) | Lire l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse 3. | Remplacer x par 3 dans l’expression de f. |
| Résoudre f(x) = 2 | Lire les abscisses des intersections avec la droite y = 2. | Résoudre l’équation f(x) = 2. |
| Résoudre f(x) = 0 | Lire les intersections avec l’axe des abscisses. | Résoudre l’équation f(x) = 0. |
| Résoudre f(x) > 0 | Repérer les portions situées au-dessus de l’axe horizontal. | Étudier le signe de l’expression f(x). |
| Comparer f(x) et g(x) | Comparer la hauteur des deux courbes. | Étudier le signe de f(x) − g(x). |
Une lecture graphique est souvent approchée
Sauf indication contraire ou lecture parfaitement évidente, une valeur obtenue sur une courbe doit être présentée comme approximative. On écrit alors, par exemple, f(2) ≈ 3,5.
Croissance, décroissance et extrema
Étudier les variations d’une fonction consiste à déterminer les intervalles sur lesquels ses valeurs augmentent ou diminuent lorsque la variable x augmente.
Fonction croissante
Lorsque x augmente, f(x) augmente ou reste constante sur l’intervalle étudié.
Fonction décroissante
Lorsque x augmente, f(x) diminue ou reste constante sur l’intervalle étudié.
Fonction constante
La valeur de f(x) reste identique pour toutes les valeurs de x de l’intervalle.
Maximum
M est un maximum lorsque la fonction atteint cette valeur et ne prend aucune valeur supérieure sur le domaine étudié.
Minimum
m est un minimum lorsque la fonction atteint cette valeur et ne prend aucune valeur inférieure sur le domaine étudié.
Une fonction f est décroissante sur [−3 ; 1], puis croissante sur [1 ; 5]. On sait que f(1) = −4.
Sur [1 ; 5] : f remonte à partir de −4.
La fonction admet donc un minimum égal à −4, atteint pour x = 1.
La valeur de l’extremum et la valeur de x pour laquelle il est atteint doivent toutes les deux être précisées.
Ne pas confondre extremum et abscisse
Si f admet un minimum égal à −4 pour x = 1, le minimum est −4. Le nombre 1 est l’abscisse à laquelle ce minimum est atteint.
Reconnaître une fonction paire ou impaire
La parité d’une fonction permet d’identifier une symétrie de sa courbe. Le domaine de définition doit être symétrique par rapport à zéro.
Fonction paire
La courbe possède une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. La fonction carré f(x) = x² est paire.
Fonction impaire
La courbe possède une symétrie centrale par rapport à l’origine. La fonction cube f(x) = x³ est impaire.
Soit f(x) = 3x² − 5.
= 3x² − 5
= f(x)
La fonction f est donc paire.
Soit g(x) = x² + x.
= x² − x
Cette expression n’est égale ni à g(x) = x² + x, ni à −g(x) = −x² − x. La fonction n’est donc ni paire ni impaire.
La plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires
La parité correspond à une propriété particulière. Si aucune des deux égalités f(−x) = f(x) ou f(−x) = −f(x) n’est vérifiée, la fonction est simplement ni paire ni impaire.
Les principales fonctions usuelles
Les fonctions usuelles servent de modèles de référence. Il faut connaître leur domaine, leur allure générale, leur parité éventuelle et leurs principales variations.
| Fonction | Expression | Domaine | Comportement essentiel |
|---|---|---|---|
| Constante | f(x) = b | ℝ | Courbe horizontale ; même image pour tout x. |
| Affine | f(x) = ax + b | ℝ | Droite ; croissante si a > 0, décroissante si a < 0. |
| Carré | f(x) = x² | ℝ | Paire ; décroissante sur ]−∞ ; 0] puis croissante sur [0 ; +∞[. |
| Cube | f(x) = x³ | ℝ | Impaire et strictement croissante sur ℝ. |
| Inverse | f(x) = 1/x | ℝ \ {0} | Impaire ; décroissante sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[. |
| Racine carrée | f(x) = √x | [0 ; +∞[ | Croissante et toujours positive ou nulle. |
| Exponentielle | f(x) = ex | ℝ | Strictement croissante et toujours strictement positive. |
| Polynôme du second degré | f(x) = ax² + bx + c | ℝ | Courbe en forme de parabole, orientée selon le signe de a. |
| Polynôme du troisième degré | f(x) = ax³ + bx² + cx + d | ℝ | Allure et variations dépendant des coefficients. |
Fonction affine
Dans f(x) = ax + b, le nombre a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine. Si a = 0, la fonction est constante.
Fonction du second degré
Le signe du coefficient de x² détermine l’orientation de la parabole : vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
Fonction exponentielle
Elle vérifie e0 = 1 et ex > 0 pour tout réel x. Sa courbe ne coupe jamais l’axe des abscisses.
Une expression comme f(x) = (x − 2)(x + 3) permet de lire immédiatement les zéros de la fonction : f(2) = 0 et f(−3) = 0. La courbe coupe donc l’axe des abscisses aux points d’abscisses 2 et −3.
Traiter une QRC sur les fonctions
Avant de calculer, identifiez précisément la nature de la question : domaine, image, antécédent, signe, variation, extremum ou lecture graphique.
Répondez avec le vocabulaire demandé
Si l’on demande l’image de 3, écrivez « l’image de 3 est… ». Si l’on demande les antécédents de 5, indiquez toutes les valeurs de x qui donnent 5. Une réponse numériquement juste peut rester ambiguë si les rôles des nombres ne sont pas précisés.
Les quatre réflexes à conserver
Domaine
Vérifier les dénominateurs et les racines avant d’effectuer un calcul.
Image
Remplacer x par la valeur donnée en conservant les parenthèses nécessaires.
Antécédent
Résoudre une équation et rechercher toutes les valeurs possibles de x.
Graphique
Distinguer lecture exacte et lecture approchée, puis interpréter le résultat.
Identifier la fonction → déterminer son domaine → calculer des images → rechercher des antécédents → placer ou lire des points → étudier le signe → décrire les variations → repérer les extrema → interpréter.
Consolider les notions essentielles
Quelle différence entre f et f(x) ?
f désigne la fonction elle-même. f(x) désigne l’image du nombre x par cette fonction, c’est-à-dire la valeur obtenue après application de la règle de calcul.
Un nombre peut-il avoir plusieurs images ?
Non. Une fonction associe à chaque valeur autorisée de x une seule image. En revanche, une même image peut posséder plusieurs antécédents.
Comment rechercher un antécédent ?
Algébriquement, on résout une équation de la forme f(x) = y. Graphiquement, on recherche les intersections de la courbe avec la droite horizontale d’équation y = constante.
Comment reconnaître les zéros d’une fonction sur une courbe ?
Les zéros correspondent aux abscisses des points où la courbe coupe ou touche l’axe des abscisses. Ils sont les solutions de l’équation f(x) = 0.
Une fonction croissante est-elle toujours positive ?
Non. La croissance décrit l’évolution des valeurs lorsque x augmente. Le signe indique si les valeurs sont positives, nulles ou négatives. Une fonction peut être croissante tout en restant négative.
Quelle différence entre minimum et point minimum ?
Le minimum est une valeur prise par la fonction. Le point minimum possède une abscisse et une ordonnée. Par exemple, si f(2) = −3 est la plus petite valeur, le minimum est −3 et il est atteint en x = 2.
Comment savoir si une fonction est paire ?
Il faut vérifier que son domaine est symétrique par rapport à zéro, puis montrer que f(−x) = f(x) pour toute valeur x de ce domaine.
Une valeur lue graphiquement est-elle exacte ?
Pas nécessairement. Si la courbe ou la graduation ne permet pas une lecture certaine, il faut utiliser le symbole ≈ et présenter le résultat comme une valeur approchée.
Poursuivez avec la dérivation et les variations
Après avoir appris à lire et décrire le comportement d’une fonction, découvrez comment sa dérivée permet de déterminer ses variations, ses extrema et l’équation de ses tangentes.
Étudier la dérivation