Dérivation et étude des variations
Apprenez à calculer la dérivée d’une fonction, déterminer l’équation d’une tangente et utiliser le signe de la dérivée pour construire un tableau de variations et identifier les extrema.
La dérivée indique comment une fonction varie
La dérivée permet d’étudier l’évolution locale d’une fonction. Son signe indique si la fonction augmente ou diminue, tandis que sa valeur en un point fournit le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point.
Calculer
Déterminer l’expression de f′(x) à partir des formules de dérivation des fonctions usuelles.
Étudier le signe
Résoudre f′(x) = 0, puis déterminer sur quels intervalles la dérivée est positive ou négative.
Déduire les variations
Transformer le tableau de signes de f′ en tableau de variations de la fonction f.
La dérivée ne donne pas directement le signe de la fonction
Le signe de f′ indique le sens de variation de f. Il ne permet pas de savoir si f(x) est positif ou négatif. Une fonction peut être croissante tout en restant entièrement sous l’axe des abscisses.
Comprendre le nombre dérivé
Le nombre dérivé f′(a) mesure le taux de variation instantané de la fonction f au voisinage du nombre a. Géométriquement, il correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe.
Lorsque f est dérivable, sa fonction dérivée est notée f′. Pour chaque valeur x, le nombre f′(x) renseigne sur la pente de la courbe représentative de f au point d’abscisse x.
f′(x) > 0
La pente est positive. La courbe monte lorsque l’on se déplace de gauche à droite et la fonction est croissante.
f′(x) < 0
La pente est négative. La courbe descend lorsque l’on se déplace de gauche à droite et la fonction est décroissante.
f′(x) = 0
La tangente est horizontale. Cette valeur peut correspondre à un maximum, un minimum ou un autre point stationnaire.
Une dérivée n’est pas un quotient ordinaire
L’écriture f′ désigne une nouvelle fonction associée à f. Elle ne s’obtient pas en ajoutant simplement une apostrophe aux termes : chaque terme doit être dérivé selon une règle précise.
Les dérivées des fonctions usuelles
Les formules élémentaires doivent être suffisamment maîtrisées pour être reconnues et appliquées rapidement dans une expression.
| Fonction f(x) | Domaine étudié | Dérivée f′(x) | Exemple |
|---|---|---|---|
| Constante k | ℝ | 0 | Si f(x) = 7, alors f′(x) = 0. |
| x | ℝ | 1 | Si f(x) = x, alors f′(x) = 1. |
| ax + b | ℝ | a | Si f(x) = 4x − 3, alors f′(x) = 4. |
| x² | ℝ | 2x | Si f(x) = x², alors f′(x) = 2x. |
| x³ | ℝ | 3x² | Si f(x) = x³, alors f′(x) = 3x². |
| xn | ℝ pour n entier positif | nxn−1 | La dérivée de x5 est 5x4. |
| 1/x | ℝ \ {0} | −1/x² | La dérivée de la fonction inverse est négative sur chacun de ses intervalles de définition. |
| ex | ℝ | ex | La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée. |
Fonction affine
La dérivée est constante et égale au coefficient directeur de la droite.
Fonction du second degré
La dérivée d’un polynôme du second degré est une fonction affine.
Fonction du troisième degré
La dérivée d’un polynôme du troisième degré est un polynôme du second degré.
Soit f(x) = 4x³ − 3x² + 5x − 8.
(−3x²)′ = −3 × 2x = −6x
(5x)′ = 5
(−8)′ = 0
f′(x) = 12x² − 6x + 5
Chaque terme est dérivé séparément. La constante −8 disparaît.
Dériver une somme ou une différence
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées. La dérivée d’une différence est la différence des dérivées.
Somme
On dérive séparément les deux fonctions, puis on additionne.
Différence
Le signe placé devant le second terme doit être conservé.
Multiplication par une constante
La constante reste présente et multiplie la dérivée de u.
Soit f(x) = x³ + 4x² − 7x + 2.
La dérivée de la constante 2 est nulle.
Soit g(x) = 3x − 2/x, définie pour x ≠ 0.
(−2/x)′ = −2 × (−1/x²) = 2/x²
g′(x) = 3 + 2/x²
Le coefficient doit être conservé
La dérivée de 5x² n’est pas 2x mais 10x : on dérive x², puis on multiplie le résultat par le coefficient 5.
Déterminer l’équation d’une tangente
La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est une droite qui possède pour coefficient directeur le nombre dérivé f′(a) et passe par le point A(a ; f(a)).
y = f′(a)(x − a) + f(a). Il faut donc calculer successivement f(a), puis f′(x), puis f′(a), avant de remplacer les valeurs dans cette formule.
Le point de contact
La tangente au point d’abscisse a passe obligatoirement par le point A(a ; f(a)) de la courbe.
La pente
Le coefficient directeur de la tangente est f′(a). Son signe indique si la tangente monte ou descend.
Soit f(x) = x² − 3x + 4. Déterminons l’équation de la tangente au point d’abscisse 2.
f(2) = 2² − 3 × 2 + 4 = 4 − 6 + 4 = 2
2. Calcul de la dérivée :
f′(x) = 2x − 3
3. Calcul de f′(2) :
f′(2) = 2 × 2 − 3 = 1
4. Équation de la tangente :
y = f′(2)(x − 2) + f(2)
y = 1(x − 2) + 2
y = x
La tangente à la courbe de f au point d’abscisse 2 a pour équation y = x.
Vérification rapide
Le point A(2 ; 2) doit appartenir à la tangente obtenue. Dans l’équation y = x, remplacer x par 2 donne bien y = 2.
Étudier le signe de la dérivée
Pour déduire les variations de f, il faut déterminer où f′(x) est positive, négative ou nulle. La méthode dépend de la forme de l’expression obtenue.
Dérivée constante
Pour une fonction affine, f′(x) = a. Son signe est donc celui du coefficient directeur a.
Dérivée affine
On résout ax + b = 0, puis on utilise le signe d’une expression du premier degré.
Dérivée factorisée
On recherche les valeurs qui annulent chaque facteur, puis on construit un tableau de signes.
Soit f′(x) = 2x − 6.
2x − 6 = 0
2x = 6
x = 3
Le coefficient de x est positif. L’expression 2x − 6 est donc négative avant 3 et positive après 3.
Résoudre f′(x) = 0 ne suffit pas
Les valeurs qui annulent la dérivée servent à découper le domaine en intervalles. Il faut ensuite déterminer le signe de f′ sur chacun de ces intervalles.
Construire le tableau de variations
Le tableau de variations résume le comportement de la fonction. Il se déduit directement du signe de sa dérivée.
| Signe de f′ sur un intervalle | Conséquence pour f | Représentation |
|---|---|---|
| f′(x) > 0 | f est strictement croissante. | Flèche montante ↗ |
| f′(x) < 0 | f est strictement décroissante. | Flèche descendante ↘ |
| f′(x) = 0 en un point isolé | La tangente est horizontale en ce point. Il faut observer le changement de signe. | Valeur intermédiaire ou extremum |
| f′(x) = 0 sur tout un intervalle | f est constante sur cet intervalle. | Flèche horizontale → |
Supposons que f′ soit négative sur ]−∞ ; 3[, nulle en 3 et positive sur ]3 ; +∞[.
La fonction est décroissante jusqu’à 3, puis croissante après 3. Elle admet donc un minimum en x = 3.
Calculer les valeurs utiles
Une fois les abscisses critiques trouvées, calculez leurs images par la fonction f. Ces valeurs doivent apparaître dans le tableau de variations, notamment lorsqu’elles correspondent à un extremum.
Repérer un extremum grâce au changement de signe
Une valeur annulant f′ peut correspondre à un extremum, mais uniquement si le signe de la dérivée change de part et d’autre.
Minimum local
Si f′ passe du signe négatif au signe positif, la fonction cesse de décroître et commence à croître.
Maximum local
Si f′ passe du signe positif au signe négatif, la fonction cesse de croître et commence à décroître.
Pas nécessairement d’extremum
Si f′ s’annule sans changer de signe, la fonction peut continuer à varier dans le même sens.
| Signe de f′ avant a | f′(a) | Signe de f′ après a | Conclusion |
|---|---|---|---|
| Négatif | 0 | Positif | f admet un minimum local en a. |
| Positif | 0 | Négatif | f admet un maximum local en a. |
| Positif | 0 | Positif | Pas d’extremum déduit : f reste croissante. |
| Négatif | 0 | Négatif | Pas d’extremum déduit : f reste décroissante. |
Si l’extremum est atteint pour x = a, sa valeur est f(a). Il faut donc distinguer l’abscisse a et la valeur de l’extremum f(a).
Étude complète d’une fonction du second degré
Voici la démarche complète permettant de passer de l’expression d’une fonction à son tableau de variations et à son extremum.
1. Domaine de définition
Elle est donc définie sur ℝ.
2. Calcul de la dérivée
f′(x) = 2x − 6
3. Recherche de la valeur qui annule la dérivée
2x = 6
x = 3
4. Étude du signe de f′
f′(3) = 0.
f′(x) > 0 lorsque x > 3.
5. Calcul de la valeur de l’extremum
= 9 − 18 + 5
= −4
6. Conclusion
Elle admet un minimum égal à −4, atteint pour x = 3.
Contrôle graphique
Le coefficient de x² est positif : la parabole est ouverte vers le haut. Il est donc cohérent d’obtenir un minimum et non un maximum.
Traiter une QRC de dérivation
Une réponse complète doit faire apparaître la dérivée, son signe, les variations de la fonction et les valeurs utiles, sans sauter le lien logique entre ces différentes étapes.
La phrase de justification à connaître
« La fonction f est croissante sur cet intervalle car sa dérivée f′ y est positive. » Cette formulation établit clairement le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation.
Les quatre réflexes à conserver
Constante
La dérivée d’une constante est nulle. Elle disparaît donc lors du calcul de f′.
Puissance
Pour dériver xn, on place n devant et on diminue l’exposant d’une unité.
Signe
f′ positive signifie f croissante ; f′ négative signifie f décroissante.
Extremum
Une dérivée nulle produit un extremum seulement lorsque son signe change.
Domaine de définition → calcul de f′ → résolution de f′(x) = 0 → signe de f′ → variations de f → calcul des images utiles → maximum ou minimum → conclusion.
Consolider les notions essentielles
À quoi sert concrètement la dérivée ?
Elle permet notamment de connaître la pente d’une courbe, déterminer une tangente, étudier les variations d’une fonction et rechercher ses éventuels maxima ou minima.
Quelle différence entre f′(x) et f′(a) ?
f′(x) est l’expression générale de la fonction dérivée. f′(a) est le nombre obtenu lorsque x est remplacé par a. Il correspond au coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a.
La dérivée d’une constante est-elle toujours nulle ?
Oui. Une fonction constante ne varie pas : sa pente est nulle en tout point et sa dérivée est donc égale à zéro.
Si f′(a) = 0, f possède-t-elle forcément un extremum en a ?
Non. Il faut également que le signe de f′ change autour de a. Sans changement de signe, la fonction peut continuer à varier dans le même sens.
Comment reconnaître un minimum dans un tableau de signes ?
La dérivée est négative avant la valeur étudiée, nulle en cette valeur, puis positive après. La fonction décroît puis croît.
Comment reconnaître un maximum ?
La dérivée est positive avant la valeur étudiée, nulle en cette valeur, puis négative après. La fonction croît puis décroît.
Quelle formule utiliser pour une tangente ?
La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a possède pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a).
Faut-il calculer les images dans un tableau de variations ?
Oui, lorsque les valeurs correspondantes sont demandées ou nécessaires pour présenter un extremum. Il faut notamment calculer f(a) lorsque f′(a) = 0 et que le signe de la dérivée change.
Poursuivez avec les statistiques
Après l’étude des fonctions et de leurs variations, abordez la description des séries statistiques, les taux d’évolution, les nuages de points et l’ajustement affine.
Étudier les statistiques