Divisibilité et arithmétique – Concours contrôleur DGFiP
Maîtrisez les notions de multiples, diviseurs, nombres premiers, critères de divisibilité, division euclidienne, PGCD et PPCM utiles pour résoudre rapidement les questions d’arithmétique.
Comprendre les relations entre les nombres entiers
La divisibilité permet de déterminer si un entier peut être partagé exactement par un autre, sans reste. Elle intervient dans de nombreux calculs : simplification de fractions, recherche d’un dénominateur commun ou résolution de problèmes de répartition.
Les critères de divisibilité doivent devenir des réflexes : ils permettent souvent de trouver ou d’éliminer une réponse sans effectuer une division complète.
Les multiples et les diviseurs
Un entier a est divisible par un entier non nul b lorsque la division de a par b donne un entier, sans reste.
Si 24 ÷ 6 = 4, alors :
24 est un multiple de 6;
6 est un diviseur de 24.
Les multiples
Les multiples d’un entier sont obtenus en multipliant cet entier par des entiers.
0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; 35…
Un nombre possède une infinité de multiples.
Les diviseurs
Un diviseur d’un nombre entier le partage exactement.
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
Tout entier naturel non nul est divisible par 1 et par lui-même.
Multiple commun
Un multiple commun à deux nombres est un nombre qui est multiple de chacun d’eux.
Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24…
Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30…
12 et 24 sont donc des multiples communs de 4 et 6.
Les critères de divisibilité
Un critère de divisibilité permet de déterminer rapidement si un entier est divisible par un autre sans effectuer la division.
| Divisible par | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | Le chiffre des unités est pair : 0, 2, 4, 6 ou 8. | 1 428 est divisible par 2. |
| 3 | La somme des chiffres est divisible par 3. | 321 : 3 + 2 + 1 = 6. |
| 4 | Le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4. | 1 316 : 16 est divisible par 4. |
| 5 | Le chiffre des unités est 0 ou 5. | 1 235 est divisible par 5. |
| 6 | Le nombre est divisible à la fois par 2 et par 3. | 234 est pair et 2 + 3 + 4 = 9. |
| 8 | Le nombre formé par les trois derniers chiffres est divisible par 8. | 4 216 : 216 ÷ 8 = 27. |
| 9 | La somme des chiffres est divisible par 9. | 729 : 7 + 2 + 9 = 18. |
| 10 | Le chiffre des unités est 0. | 2 350 est divisible par 10. |
| 11 | La différence entre la somme des chiffres de rang alterné est un multiple de 11, y compris 0. | 1 452 : (1 + 5) – (4 + 2) = 0. |
Exemple avec 3 et 9
5 + 7 + 4 + 2 = 18.
18 est divisible par 3 et par 9.
Donc 5 742 est divisible par 3 et par 9
Être divisible par 3 ne signifie pas automatiquement être divisible par 9. Par exemple 123 : 1 + 2 + 3 = 6. Il est divisible par 3, mais pas par 9.
Les nombres premiers
Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37…
1 n’est pas un nombre premier.
2 est le seul nombre premier pair.
Comment vérifier si un nombre est premier ?
Pour les petits nombres rencontrés dans un QCM, commencez par tester les critères de divisibilité les plus simples : 2, 3, 5, 7…
91 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5. Mais 91 = 7 × 13.
91 n’est donc pas premier.
Nombres premiers entre eux
Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur positif commun est 1.
8 et 15 sont premiers entre eux.
Diviseurs de 8 : 1, 2, 4, 8.
Diviseurs de 15 : 1, 3, 5, 15.
Leur seul diviseur commun est 1.
Deux nombres peuvent être premiers entre eux sans être eux-mêmes des nombres premiers. 8 et 15 en sont un bon exemple.
La décomposition en facteurs premiers
Tout entier naturel supérieur à 1 peut être écrit comme un produit de nombres premiers.
60 = 2 × 30
60 = 2 × 2 × 15
60 = 2 × 2 × 3 × 5
Méthode
Commencez généralement par le plus petit nombre premier possible : 2, puis 3, puis 5, puis 7…
180 ÷ 2 = 90
90 ÷ 2 = 45
45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
Donc : 180 = 2² × 3² × 5
La décomposition en facteurs premiers permet notamment de trouver rapidement un PGCD ou un PPCM et de simplifier certaines fractions.
La division euclidienne
La division euclidienne d’un entier a par un entier naturel non nul b permet d’obtenir un quotient entier q et un reste r.
Avec :
6 × 7 = 42.
47 – 42 = 5.
Quotient = 7
Reste = 5
On peut donc écrire : 47 = 6 × 7 + 5
Divisibilité et reste
Un nombre est divisible par un autre si et seulement si le reste de la division euclidienne est égal à zéro.
48 = 6 × 8 + 0.
Donc 48 est divisible par 6.
Le reste doit toujours être strictement inférieur au diviseur. Dans une division par 6, un reste de 6 ou 7 est impossible.
Le PGCD
Le plus grand commun diviseur de deux entiers est le plus grand entier positif qui divise simultanément ces deux nombres.
Méthode par liste des diviseurs
Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Le plus grand diviseur commun est 6
Méthode par facteurs premiers
18 = 2 × 3²
24 = 2³ × 3
On conserve les facteurs communs avec les plus petits exposants : 2 × 3 = 6
Simplifier une fraction
Le PGCD permet de simplifier directement une fraction.
PGCD(18 ; 24) = 6
18/24 = (18 ÷ 6)/(24 ÷ 6) = 3/4
Nombres premiers entre eux
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
Le PPCM
Le plus petit commun multiple de deux entiers naturels non nuls est le plus petit entier positif qui est multiple des deux nombres.
Méthode par liste
Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24…
Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24…
Le premier multiple commun positif est 12
Méthode par facteurs premiers
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
Pour le PPCM, on conserve tous les facteurs présents avec le plus grand exposant :
2² × 3² = 36
Quand utiliser le PPCM ?
Le PPCM est utile lorsqu’on cherche le premier moment où plusieurs phénomènes périodiques se produisent simultanément ou lorsqu’on cherche un dénominateur commun.
Un événement se répète tous les 6 jours et un autre tous les 8 jours. S’ils ont lieu aujourd’hui en même temps, ils coïncideront de nouveau après :
PPCM(6 ; 8) = 24 jours
Relation entre PGCD et PPCM
Pour deux entiers naturels non nuls a et b :
PGCD = 6
PPCM = 36
6 × 36 = 216
12 × 18 = 216
PGCDon cherche à partager, simplifier ou trouver
le plus grand diviseur commun.
PPCMon cherche une première rencontre,
une répétition commune ou le plus petit multiple commun.
Vérifiez vos acquis
Essayez de répondre sans remonter dans le cours.
Utilisez le critère de divisibilité.
Oui ou non ?
Quelle écriture obtenez-vous ?
Quel est le quotient ? Quel est le reste ?
2 · 5 · 10 · 20 ?
9 · 12 · 18 · 54 ?
Continuez avec les puissances et les racines
Après les propriétés des nombres entiers, poursuivez avec les puissances, exposants négatifs, notation scientifique et racines carrées.