Mesures et conversions
Maîtrisez les unités usuelles, les conversions de longueurs, masses, capacités et volumes, ainsi que les calculs faisant intervenir la masse volumique et la densité.
Convertir sans se tromper d’unité
Une conversion consiste à exprimer une même grandeur dans une autre unité. La valeur numérique change, mais la quantité mesurée reste exactement la même.
Les erreurs viennent souvent d’un facteur 10, 100 ou 1 000 mal placé. Il faut donc identifier d’abord la grandeur mesurée, puis les unités de départ et d’arrivée.
Les principes des conversions
Les unités du système métrique sont organisées à l’aide de préfixes correspondant à des puissances de 10.
| Préfixe | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| kilo | k | 1 000 unités |
| hecto | h | 100 unités |
| déca | da | 10 unités |
| unité | — | 1 |
| déci | d | 0,1 unité |
| centi | c | 0,01 unité |
| milli | m | 0,001 unité |
Chaque changement d’unité vers l’unité immédiatement plus petite multiplie la valeur numérique par 10. Dans l’autre sens, on divise par 10.
1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm.
Cette règle du facteur 10 par colonne concerne les unités simples. Pour les surfaces en m², le facteur est 100 par changement d’unité. Pour les volumes en m³, il est 1 000.
Les unités de longueur
L’unité de référence de longueur du Système international est le mètre (m).
Chaque déplacement d’un rang correspond à un facteur 10.
1 km = 1 000 m.
3,5 × 1 000 = 3 500 m
100 cm = 1 m.
450 ÷ 100 = 4,5 m
Quelques équivalences utiles
| Équivalence | Valeur |
|---|---|
| 1 km | 1 000 m |
| 1 m | 100 cm |
| 1 cm | 10 mm |
| 1 m | 1 000 mm |
Une même longueur exprimée dans une unité plus petite donne un nombre plus grand : 2 m correspondent à 200 cm, pas à 0,02 cm.
Les unités de masse
L’unité de masse du Système international est le kilogramme (kg). Dans les conversions courantes, on utilise également la tonne, le gramme et le milligramme.
1 tonne = 1 000 kg
1 kg = 1 000 g
1 g = 1 000 mg
2,4 × 1 000 = 2 400 g
750 ÷ 1 000 = 0,75 kg
3,2 × 1 000 = 3 200 kg
Comparer des masses
Pour comparer deux mesures, commencez par les exprimer dans la même unité.
Comparer 1,8 kg et 1 750 g.
1,8 kg = 1 800 g.
Donc 1,8 kg > 1 750 g
Capacités et volumes
La capacité est couramment exprimée en litres, tandis que le volume peut être exprimé en mètres cubes et dans leurs sous-multiples.
Les unités de capacité
1 L = 10 dL
1 L = 100 cL
1 L = 1 000 mL
2,5 × 1 000 = 2 500 mL
Relation entre litres et volumes
1 L = 1 dm³
Comme 1 dm = 10 cm :
Donc :
Le mètre cube
1 m³ = 1 000 L.
2,5 m³ = 2,5 × 1 000 = 2 500 L
1 m³ = 1 000 L
1 dm³ = 1 L
1 cm³ = 1 mL
Convertir des unités carrées et cubiques
Les conversions deviennent différentes lorsqu’une unité est élevée au carré ou au cube.
Les unités carrées
Pour une surface, chaque changement d’unité correspond à un facteur 100.
1 m = 10 dm.
Donc 1 m² = 10 dm × 10 dm = 100 dm²
Les unités cubiques
Pour un volume, chaque changement d’unité correspond à un facteur 1 000
1 m = 10 dm.
Donc 1 m³ = 10 × 10 × 10 dm³ = 1 000 dm³
1 m² n’est pas égal à 100 cm² : 1 m² = 10 000 cm²
De même, 1 m³ n’est pas égal à 1 000 cm³ : 1 m³ = 1 000 000 cm³
La masse volumique
La masse volumique indique la masse contenue dans une unité de volume. Elle permet notamment de comparer des matériaux ou de calculer une masse à partir d’un volume.
On note fréquemment la masse volumique par la lettre grecque ρ (rho).
Calculer une masse
À partir de la formule précédente :
Calculer un volume
Un matériau a une masse de 600 g pour un volume de 200 cm³.
ρ = 600 / 200 = 3 g/cm³
Attention aux unités
La masse et le volume doivent être exprimés dans des unités compatibles avec l’unité de masse volumique recherchée.
Si la masse est donnée en kilogrammes et le volume en mètres cubes, la masse volumique pourra être exprimée en kg/m³
Ne mélangez pas directement une masse exprimée en grammes avec un volume en m³ si la réponse doit être donnée en kg/m³. Commencez par harmoniser les unités.
Si vous retenez m = ρ × Vvous retrouvez les deux autres formules par simple division : ρ = m/V et V = m/ρ.
La densité
La densité d’un corps permet de comparer sa masse volumique à celle d’un corps de référence. Pour les solides et les liquides, la référence habituelle est l’eau.
Contrairement à la masse volumique, la densité est sans unitéil s’agit d’un rapport entre deux masses volumiques exprimées dans les mêmes unités.
La masse volumique de l’eau vaut notamment :
Un matériau possède une masse volumique de 2 700 kg/m³.
d = 2 700 / 1 000 = 2,7
Interpréter la densité
| Densité | Interprétation par rapport à l’eau |
|---|---|
| d < 1 | Le corps est moins dense que l’eau. |
| d = 1 | Même densité que l’eau. |
| d > 1 | Le corps est plus dense que l’eau. |
Masse volumique : possède une unité, par exemple kg/m³.
Densité : nombre sans unité.
Résoudre un problème de mesures
Dans un problème comportant plusieurs unités, l’ordre des opérations compte autant que le calcul lui-même.
1. Identifier ce que l’on cherche.
2. Relever les données et leurs unités.
3. Convertir les données dans des unités compatibles.
4. Appliquer la formule puis contrôler l’unité du résultat.
Exemple : masse d’un liquide
Un liquide possède une masse volumique de 0,8 kg/L. Quelle est la masse de 5 L de ce liquide ?
On utilise :
m = 0,8 × 5 = 4 kg
Exemple avec conversion
Un liquide possède une masse volumique de 1,2 kg/L. Quelle est la masse de 500 mL ?
Il faut d’abord convertir :
Puis :
m = 0,6 kg soit 600 g
Si votre résultat semble mille fois trop grand ou trop petit, cherchez d’abord une erreur de conversion. Les facteurs 10, 100 et 1 000 sont parmi les meilleurs fabricants de mauvaises réponses dans un QCM.
Vérifiez vos acquis
Essayez de répondre sans remonter dans le cours.
Quel résultat obtenez-vous ?
Quelle est la valeur en kg ?
15 · 150 · 1 500 · 15 000 ?
30 · 300 · 3 000 · 30 000 ?
Attention : il s’agit d’une unité carrée.
Quelle est sa masse volumique en g/cm³ ?
Quelle est sa densité par rapport à l’eau ?
Quelle est la masse de 750 mL de cette substance ?
Terminez avec l’algèbre
Après les calculs numériques et les conversions, passez au dernier grand bloc des mathématiques du tronc commun : calcul littéral, développement, factorisation, équations, inéquations et systèmes.