Raisonnement déductif
Apprenez à exploiter des affirmations, conditions et implications afin de déterminer ce qui est nécessairement vrai, nécessairement faux, simplement possible ou impossible à conclure.
Déduire uniquement ce que les informations permettent
Le raisonnement déductif consiste à partir d’informations considérées comme vraies pour en tirer une conclusion qui en découle logiquement.
La principale difficulté consiste à ne pas ajouter ses propres connaissances ou suppositions. Dans ce type de question, une conclusion plausible n’est pas forcément une conclusion certaine
La méthode générale
Une question de déduction doit être traitée méthodiquement. Chercher immédiatement une réponse « qui semble logique » est précisément ce qui provoque beaucoup d’erreurs.
Relevez uniquement les informations explicitement données.
Cherchez les formulations « si », « tous », « aucun », « certains », etc.
Utilisez de petites flèches ou des symboles pour éviter les ambiguïtés.
Combinez uniquement les relations compatibles entre elles.
Demandez-vous si elle est obligatoire ou seulement possible.
« Peut », « doit », « nécessairement » et « toujours » changent tout.
« Cette conclusion est-elle imposée par les informations, ou est-ce simplement une possibilité parmi d’autres ? »
Les propositions logiques
Une proposition logique est une affirmation à laquelle on peut, dans le cadre de l’exercice, attribuer une valeur vraie ou fausse.
« Paul est majeur. »
« Tous les candidats ont remis leur copie. »
« Aucun véhicule n’est rouge. »
Les mots quantificateurs
| Mot | Signification logique |
|---|---|
| Tous | L’affirmation concerne chacun des éléments. |
| Aucun | L’affirmation ne concerne aucun élément. |
| Certains | Au moins un élément est concerné. |
| Au moins un | Un ou plusieurs éléments sont concernés. |
| Un seul | Exactement un élément est concerné. |
Si l’on sait que certains candidats sont diplômés, on ne peut pas conclure que tous les candidats le sont.
L’implication : « si A, alors B »
Une implication indique que chaque fois que la condition A est remplie, la conséquence B doit l’être également.
Si un dossier est incomplet, il est rejeté.
Le dossier de Paul est incomplet.
On peut donc conclure : le dossier de Paul est rejeté
Ce que l’on ne peut pas déduire
Supposons toujours :
Si un dossier est complet, cela ne permet pas à lui seul d’affirmer qu’il sera accepté.
Il pourrait être rejeté pour une autre raison. L’énoncé indique seulement ce qui arrive lorsqu’un dossier est incomplet.
Réciproque et contraposée
C’est l’un des pièges les plus importants du raisonnement logique.
L’implication
La réciproque
La réciproque n’est pas automatiquement vraie
Si un nombre est divisible par 4, alors il est pair.
C’est vrai.
Mais « si un nombre est pair, alors il est divisible par 4 » est faux. Par exemple 6 est pair mais n’est pas divisible par 4.
La contraposée
Si A implique B, alors :
Si un nombre est divisible par 4, il est pair.
Contraposée : si un nombre n’est pas pair, alors il n’est pas divisible par 4.
A → B autorise : non B → non A
A → B n’autorise pas automatiquement : B → A
Conditions nécessaires et suffisantes
Ces notions permettent de comprendre exactement la direction d’une implication.
Condition suffisante
A est une condition suffisante pour B lorsque :
La réalisation de A suffit donc à garantir B.
Être divisible par 4 est une condition suffisante pour être pair.
Condition nécessaire
B est une condition nécessaire pour A lorsque A ne peut être vrai sans que B le soit.
Être pair est nécessaire pour être divisible par 4.
Mais être pair n’est pas suffisant pour être divisible par 4.
Condition nécessaire et suffisante
Lorsque les deux implications sont vraies :
On obtient une équivalence logique.
Suffisant = cela garantit le résultat.
Nécessaire = impossible d’obtenir le résultat sans cela.
La négation d’une proposition
Nier correctement une affirmation ne consiste pas toujours à ajouter simplement « ne… pas ».
Négation de « tous »
Tous les candidats ont réussi.
Au moins un candidat n’a pas réussi.
« Aucun candidat n’a réussi » est beaucoup plus fort. Ce n’est pas la négation logique de « tous ont réussi ».
Négation de « aucun »
Aucun dossier n’est incomplet.
Au moins un dossier est incomplet.
Négation de « au moins un »
Au moins un candidat a obtenu 20.
NégationAucun candidat n’a obtenu 20.
| Proposition | Négation |
|---|---|
| Tous les A sont B. | Au moins un A n’est pas B. |
| Aucun A n’est B. | Au moins un A est B. |
| Au moins un A est B. | Aucun A n’est B. |
Les syllogismes simples
Un syllogisme combine plusieurs affirmations afin de produire une conclusion logique.
Tous les inspecteurs sont fonctionnaires.
Paul est inspecteur.
Conclusion : Paul est fonctionnaire
Enchaîner deux catégories
Tous les A sont B.
Tous les B sont C.
On peut conclure : tous les A sont C
Cas où l’on ne peut pas conclure
Tous les A sont B.
Certains C sont B.
On ne peut pas déduire que certains C sont A.
Si les chats sont des animaux et les chiens sont des animaux, cela ne signifie évidemment pas que les chiens sont des chats.
Les chaînes de déduction
Plusieurs implications peuvent être reliées pour obtenir une conclusion indirecte.
Si A, alors B.
Si B, alors C.
Si C, alors D.
Si A est vrai, D est nécessairement vrai.
Utiliser la contraposée
Si l’on sait que D est faux :
Transformez les phrases en flèches. Une chaîne de quatre affirmations devient alors beaucoup plus facile à suivre.
Le raisonnement par élimination
Dans un QCM, il n’est pas toujours nécessaire de démontrer directement la bonne réponse. On peut parfois montrer que les autres propositions sont impossibles.
Tous les membres du groupe A portent un badge.
Paul ne porte pas de badge.
Conclusion certaine : Paul n’appartient pas au groupe A
En effet :
donc par contraposée :
Tester une hypothèse
Lorsque plusieurs réponses sont proposées, supposez temporairement qu’une proposition est vraie. Si elle conduit à une contradiction avec l’énoncé, elle peut être éliminée.
Une proposition peut être éliminée si elle contredit les informations. En revanche, le simple fait de ne pas pouvoir la prouver ne signifie pas qu’elle est fausse.
Vrai, faux ou indéterminable
Beaucoup de questions de déduction peuvent être ramenées à trois situations.
| Situation | Signification |
|---|---|
| Nécessairement vrai | La conclusion découle obligatoirement des informations. |
| Nécessairement faux | La conclusion contredit obligatoirement les informations. |
| Indéterminable | Les informations ne suffisent pas pour décider. |
Exemple d’indétermination
Tous les A sont B.
Paul est B.
Peut-on conclure que Paul est A ?
Non. Paul peut être A, mais il peut également appartenir à B pour une autre raison.
La présence dans B ne permet pas de remonter automatiquement vers A.
Distinguer « peut » et « doit »
Il suffit qu’au moins une situation compatible avec l’énoncé rende la proposition vraie.
La proposition doit être vraie dans toutes les situations compatibles avec l’énoncé.
Une réponse qui semble très probable n’est pas suffisante. Si un contre-exemple compatible avec l’énoncé existe, la conclusion n’est pas nécessaire.
Méthode du contre-exemple
Pour vérifier qu’une conclusion n’est pas nécessaire, cherchez une situation où toutes les données restent vraies mais où la conclusion devient fausse.
Tous les agents du service X possèdent une carte bleue.
Marie possède une carte bleue.
Conclusion proposée : « Marie travaille dans le service X. »
Contre-exemple : Marie peut travailler dans le service Y et posséder également une carte bleue.
La conclusion est donc indéterminable
Vrai = obligé.
Faux = impossible.
Indéterminable = possible, mais non garanti.
Les principaux réflexes de déduction
| Information | Déduction autorisée | Erreur à éviter |
|---|---|---|
| A → B | A vrai → B vrai | B vrai → A vrai |
| A → B | non B → non A | non A → non B |
| A → B → C | A → C | C → A |
| Tous les A sont B | Un A particulier est B. | Tout B est A. |
| Certains A sont B | Au moins un A est B. | Tous les A sont B. |
| Aucun A n’est B | A et B ne peuvent se recouper. | Affirmer autre chose sur les non-A. |
Vérifiez vos acquis
Cherchez uniquement ce qui peut être déduit avec certitude.
Si un candidat obtient au moins 10, il est admis. Paul obtient 12. Que peut-on conclure ?
Si un nombre est divisible par 6, il est pair. Le nombre 14 est pair. Peut-on conclure qu’il est divisible par 6 ?
Tous les membres du groupe X possèdent une carte. Léa ne possède pas de carte. Peut-elle appartenir au groupe X ?
Si A alors B.
Si B alors C.
A est vrai.
Que peut-on conclure concernant C ?
Certains agents parlent espagnol. Peut-on conclure que tous les agents parlent espagnol ?
Quelle est la négation de : « Tous les candidats ont réussi » ?
Tous les A sont B.
Tous les B sont C.
Quelle relation peut-on établir entre A et C ?
Tous les juristes sont diplômés. Marc est diplômé. Peut-on affirmer que Marc est juriste ?
Pour être divisible par 8, un nombre doit être pair. Être pair suffit-il pour être divisible par 8 ?
Tous les A sont rouges. L’objet X est bleu. Peut-il appartenir à A ?
Continuez avec les problèmes de contraintes
Après les implications et les déductions, passez aux exercices où plusieurs personnes, objets ou créneaux doivent être affectés en respectant simultanément plusieurs règles.