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Calcul algébrique, équations et inéquations

Maîtrisez les expressions algébriques, les identités remarquables, la factorisation et la résolution des équations et inéquations. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir un résultat : il faut construire un raisonnement exact, lisible et suffisamment justifié pour une réponse courte de concours.

1 Calculer sans erreur Réduire, développer et factoriser une expression en respectant les priorités opératoires et les règles de signes.

2 Résoudre méthodiquement Transformer une équation ou une inéquation en conservant un ensemble de solutions équivalent.

3 Présenter une QRC Faire apparaître les étapes utiles, vérifier les conditions d’existence et annoncer clairement la solution.

1. Comprendre une expression algébrique

Une expression algébrique est un calcul dans lequel interviennent des nombres, des lettres et des opérations. Les lettres représentent des nombres inconnus ou variables.

A(x) = 3x² − 5x + 7

Dans cette expression :

x est la variable ;
3 est le coefficient de x² ;
−5 est le coefficient de x ;
7 est le terme constant.

Notion	Définition	Exemple
Terme	Élément séparé des autres par une addition ou une soustraction	Dans 4x − 7, les termes sont 4x et −7
Coefficient	Nombre qui multiplie une lettre	Dans −3x, le coefficient est −3
Somme	Expression dont l’opération principale est une addition	2x + 5
Produit	Expression dont l’opération principale est une multiplication	3(x − 2)

Valeur d’une expression Pour calculer une expression lorsque x est connu, remplacez chaque x par sa valeur en utilisant des parenthèses. Si A(x) = 2x² − 3x + 1 et x = −2, écrivez A(−2) = 2 × (−2)² − 3 × (−2) + 1.

2. Réduire une expression

Réduire une expression consiste à regrouper les termes de même nature. On peut additionner 3x et 5x, mais pas 3x et 5x².

ax + bx = (a + b)x

Exemple corrigé Réduire A = 7x − 4 + 3x + 9 − 2x

Regrouper les termes en x : 7x + 3x − 2x.
Regrouper les constantes : −4 + 9.
Calculer : 8x + 5.

Résultat : A = 8x + 5.

Erreur classique 3x + 4x² ne donne pas 7x³. Les termes ne sont pas semblables et les exposants ne s’additionnent que lors d’une multiplication : x² × x = x³.

Calcul	Résultat
x × x	x²
x² × x³	x⁵
x⁵ ÷ x², avec x ≠ 0	x³
(x²)³	x⁶
3x + 5x	8x

3. Développer une expression

Développer consiste à transformer un produit en somme. On utilise la distributivité simple ou la double distributivité.

La distributivité simple

k(a + b) = ka + kb
k(a − b) = ka − kb

Exemple Développer 4(3x − 5)

On multiplie chaque terme de la parenthèse par 4 :

4(3x − 5) = 4 × 3x − 4 × 5 = 12x − 20

Le signe placé devant une parenthèse

Lorsqu’une parenthèse est précédée du signe moins, tous les signes contenus dans la parenthèse changent.

−(a + b) = −a − b
−(a − b) = −a + b

Exemple Réduire A = 5x − (2x − 7)

A = 5x − 2x + 7 = 3x + 7.

La double distributivité

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Exemple corrigé Développer (2x + 3)(x − 4)

(2x + 3)(x − 4) = 2x² − 8x + 3x − 12

Résultat réduit : 2x² − 5x − 12.

4. Les identités remarquables

Les identités remarquables permettent de développer ou de factoriser rapidement certaines expressions. Elles doivent être reconnues dans les deux sens.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

(a − b)(a + b) = a² − b²

Expression	Développement
(x + 5)²	x² + 10x + 25
(2x − 3)²	4x² − 12x + 9
(3x − 4)(3x + 4)	9x² − 16

Le piège à éviter absolument (a + b)² n’est pas égal à a² + b². Le double produit 2ab ne doit jamais disparaître mystérieusement dans la nature.

5. Factoriser une expression

Factoriser consiste à transformer une somme ou une différence en produit. C’est l’opération inverse du développement.

Rechercher un facteur commun

ka + kb = k(a + b)

Exemple Factoriser 12x² − 8x

Le facteur commun est 4x :

12x² − 8x = 4x(3x − 2).

Utiliser une identité remarquable

Exemple Factoriser x² − 25

On reconnaît une différence de deux carrés :

x² − 25 = x² − 5² = (x − 5)(x + 5)

Exemple Factoriser x² + 6x + 9

x² + 6x + 9 = x² + 2 × x × 3 + 3².

Résultat : x² + 6x + 9 = (x + 3)².

Réflexe utile Avant de chercher une identité remarquable, vérifiez toujours s’il existe un facteur commun. C’est souvent la voie la plus courte.

6. Les fractions algébriques

Une fraction algébrique contient une lettre au numérateur, au dénominateur ou dans les deux. Toute valeur qui annule un dénominateur doit être exclue.

A(x) = (2x + 1) / (x − 3)

Le dénominateur ne peut pas être nul. Il faut donc imposer x − 3 ≠ 0, soit x ≠ 3. C’est la condition d’existence.

Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire des fractions, elles doivent avoir un dénominateur commun.

a / c + b / c = (a + b) / c, avec c ≠ 0

Exemple Calculer 2/x + 3/(2x), avec x ≠ 0

Le dénominateur commun est 2x :

2/x = 4/(2x)

2/x + 3/(2x) = 4/(2x) + 3/(2x) = 7/(2x).

Simplifier une fraction

On ne peut simplifier que des facteurs, jamais des termes séparés par une addition ou une soustraction.

(x² − 9) / (x − 3) = [(x − 3)(x + 3)] / (x − 3) = x + 3

Cette simplification est valable sous la condition x ≠ 3.

7. Résoudre une équation du premier degré

Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre l’équation consiste à déterminer toutes les valeurs qui rendent l’égalité vraie.

ax + b = 0, avec a ≠ 0 ⟹ x = −b/a

Une équation conserve les mêmes solutions lorsqu’on effectue la même opération dans chacun de ses deux membres.

1. Développer Supprimer les parenthèses si l’équation en contient.

2. Regrouper Placer les termes en x d’un côté et les nombres de l’autre.

3. Isoler x Diviser les deux membres par le coefficient de x.

Exemple corrigé Résoudre 3(x − 2) + 5 = 2x + 7

Développer : 3x − 6 + 5 = 2x + 7.
Réduire : 3x − 1 = 2x + 7.
Soustraire 2x aux deux membres : x − 1 = 7.
Ajouter 1 aux deux membres : x = 8.

Vérification :
Premier membre : 3(8 − 2) + 5 = 23.
Second membre : 2 × 8 + 7 = 23.
La solution est donc S = {8}.

Les cas particuliers

Équation obtenue	Conclusion
0x = 5	Impossible : aucune solution, S = ∅
0x = 0	Toujours vraie : tous les réels sont solutions, S = ℝ
ax = b avec a ≠ 0	Une solution unique : x = b/a

8. Résoudre une équation produit nul

Un produit est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul.

A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0

Exemple corrigé Résoudre (2x − 6)(x + 4) = 0

Premier facteur : 2x − 6 = 0, donc 2x = 6 et x = 3.
Second facteur : x + 4 = 0, donc x = −4.

Ensemble des solutions : S = {−4 ; 3}.

Attention La règle du produit nul s’applique uniquement lorsque l’un des membres de l’équation est égal à zéro. Elle ne s’applique pas directement à (x − 2)(x + 1) = 6.

9. Résoudre une équation avec un quotient

Avant tout calcul, déterminez les valeurs interdites, c’est-à-dire celles qui annulent un dénominateur.

Exemple corrigé Résoudre (2x + 1)/(x − 3) = 5

Condition d’existence : x − 3 ≠ 0, donc x ≠ 3.
Multiplier les deux membres par x − 3 : 2x + 1 = 5(x − 3).
Développer : 2x + 1 = 5x − 15.
Regrouper : 16 = 3x.
On obtient x = 16/3.

16/3 n’est pas une valeur interdite. Par conséquent, S = {16/3}.

Cas d’un quotient nul

A/B = 0 ⟺ A = 0 et B ≠ 0

Pour qu’un quotient soit nul, son numérateur doit être nul et son dénominateur doit rester différent de zéro.

10. Équations du second degré

Une équation du second degré se présente sous la forme :

ax² + bx + c = 0, avec a ≠ 0

Lorsque la factorisation n’est pas immédiatement visible, on calcule le discriminant :

Δ = b² − 4ac

Valeur de Δ	Nombre de solutions réelles	Solutions
Δ > 0	Deux solutions distinctes	x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a)
Δ = 0	Une solution double	x₀ = −b/(2a)
Δ < 0	Aucune solution réelle	S = ∅ dans ℝ

Exemple corrigé Résoudre x² − 5x + 6 = 0

a = 1, b = −5 et c = 6.
Δ = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1.
Comme Δ > 0, l’équation possède deux solutions.
x₁ = [5 − 1]/2 = 2 et x₂ = [5 + 1]/2 = 3.

Ensemble des solutions : S = {2 ; 3}.

Avant de sortir l’artillerie lourde Regardez si l’expression peut être factorisée simplement. x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) permet d’obtenir immédiatement les mêmes solutions.

11. Résoudre une inéquation

Une inéquation compare deux expressions à l’aide des signes <, ≤, > ou ≥. Sa solution est généralement un intervalle.

La règle essentielle Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif, on doit inverser le sens de l’inégalité.

Si a < b, alors −a > −b

Exemple corrigé Résoudre 3x − 7 ≤ 8

Ajouter 7 aux deux membres : 3x ≤ 15.
Diviser par 3, qui est positif : x ≤ 5.

Solution : S = ]−∞ ; 5].

Signe inversé Résoudre −4x + 3 > 11

Soustraire 3 : −4x > 8.
Diviser par −4 et inverser le signe : x < −2.

Solution : S = ]−∞ ; −2[.

Lecture des intervalles

Inégalité	Intervalle
x < a	]−∞ ; a[
x ≤ a	]−∞ ; a]
x > a	]a ; +∞[
x ≥ a	[a ; +∞[
a ≤ x ≤ b	[a ; b]

Inéquation produit

Pour résoudre une inéquation comme (x − 2)(x + 3) ≥ 0, on repère les valeurs qui annulent chaque facteur, puis on étudie le signe du produit.

Valeurs de x	x < −3	−3 < x < 2	x > 2
x − 2	−	−	+
x + 3	−	+	+
Produit	+	−	+

Le produit doit être positif ou nul. Les valeurs −3 et 2 sont incluses, car l’inégalité contient le signe ≥.

Solution : S = ]−∞ ; −3] ∪ [2 ; +∞[.

12. Traduire un problème par une équation

Dans une QRC, l’algèbre sert souvent à résoudre une situation concrète. Le calcul ne commence pas avec une formule choisie au hasard : il commence par la définition précise de l’inconnue.

1. Choisir l’inconnue Écrire clairement ce que représente x et préciser son unité.

2. Traduire les données Transformer chaque information utile en expression mathématique.

3. Conclure Résoudre, vérifier la cohérence et répondre par une phrase.

Application QRC Répartition d’un budget

Un service dispose d’un budget de 42 000 €. Les dépenses de fonctionnement représentent 6 000 € de plus que le double des dépenses d’équipement. Déterminer le montant consacré à chaque poste.

On note x le montant, en euros, consacré à l’équipement.
Les dépenses de fonctionnement sont alors égales à 2x + 6 000.
La somme des deux postes vaut 42 000 : x + 2x + 6 000 = 42 000.
3x = 36 000, donc x = 12 000.
Les dépenses de fonctionnement valent 2 × 12 000 + 6 000 = 30 000 €.

Conclusion rédigée : le service consacre 12 000 € aux dépenses d’équipement et 30 000 € aux dépenses de fonctionnement. La somme obtenue est bien égale au budget total de 42 000 €.

Ce que le correcteur doit pouvoir suivre La définition de l’inconnue, la construction de l’équation, les étapes de résolution et la réponse finale avec son unité. Un résultat isolé, même juste, ne montre pas la maîtrise du raisonnement.

13. Méthode de rédaction pour une QRC

La copie efficace en cinq réflexes

Nommer l’inconnue et préciser ce qu’elle représente.
Écrire l’équation ou l’inéquation issue de l’énoncé.
Présenter les transformations dans leur ordre logique.
Vérifier les valeurs interdites, les signes et la cohérence.
Terminer par une phrase répondant exactement à la question.

À bannir de la copie Les égalités fausses entre deux lignes, les changements de signe inexpliqués, les valeurs interdites oubliées et les résultats sans unité. Une présentation courte peut être excellente ; une présentation imprécise reste imprécise, même avec beaucoup d’encre.

14. Exercices d’entraînement

Exercice 1 — Réduire une expression

Réduire A = 6x − 3 + 4x + 8 − 2x.

A = (6x + 4x − 2x) + (−3 + 8) = 8x + 5.

Exercice 2 — Développer et réduire

Développer B = 3(2x − 5) − 2(x + 4).

B = 6x − 15 − 2x − 8 = 4x − 23.

Exercice 3 — Utiliser une identité remarquable

Développer C = (2x − 5)².

C = (2x)² − 2 × 2x × 5 + 5² = 4x² − 20x + 25.

Exercice 4 — Factoriser

Factoriser D = 15x² + 10x.

Le facteur commun est 5x. Ainsi, D = 5x(3x + 2).

Exercice 5 — Résoudre une équation

Résoudre 5x − 7 = 2x + 8.

5x − 2x = 8 + 7, donc 3x = 15 et x = 5. Ainsi, S = {5}.

Exercice 6 — Résoudre une équation produit nul

Résoudre (3x + 6)(2x − 5) = 0.

3x + 6 = 0 donne x = −2.
2x − 5 = 0 donne x = 5/2.
Ainsi, S = {−2 ; 5/2}.

Exercice 7 — Résoudre une inéquation

Résoudre 7 − 3x ≥ 16.

−3x ≥ 9. En divisant par −3, on inverse le signe : x ≤ −3. Ainsi, S = ]−∞ ; −3].

Exercice 8 — Problème de mise en équation

La somme de deux nombres consécutifs est égale à 51. Déterminer ces deux nombres.

On note x le plus petit nombre. Le suivant est x + 1.
x + (x + 1) = 51, donc 2x = 50 et x = 25.
Les deux nombres sont donc 25 et 26.

15. À retenir avant l’épreuve

Calcul algébrique

Regrouper seulement les termes semblables.
Respecter les règles de signes.
Connaître les trois identités remarquables.
Factoriser avant de simplifier une fraction.

Équations

Effectuer la même opération dans les deux membres.
Rechercher les valeurs interdites.
Utiliser le produit nul seulement face à zéro.
Vérifier les solutions obtenues.

Inéquations

Inverser le signe après division par un nombre négatif.
Donner la solution sous forme d’intervalle.
Inclure la borne avec ≤ ou ≥.
Utiliser un tableau de signes si nécessaire.