Proportionnalité et pourcentages – Concours contrôleur DGFiP
Maîtrisez les proportions, produits en croix, pourcentages, taux d’évolution, moyennes, intérêts simples et calculs commerciaux pour résoudre rapidement les situations numériques du QCM.
Passer d’une situation concrète au bon calcul
Pourcentages et proportionnalité apparaissent dans de nombreuses situations : évolution d’un prix, répartition d’une quantité, comparaison de valeurs, calcul d’un taux ou détermination d’un bénéfice.
La difficulté n’est pas seulement d’effectuer le calcul. Il faut surtout reconnaître rapidement quelle opération utiliser et sur quelle valeur appliquer le pourcentage.
La proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l’on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.
Si une grandeur y est proportionnelle à une grandeur x, il existe un nombre k tel que :
k est le coefficient de proportionnalité.
1 kg de pommes coûte 3 €.
2 kg coûtent 6 €.
5 kg coûtent 15 €.
Le prix est proportionnel à la masse avec un coefficient égal à 3
Tableau de proportionnalité
| Masse | 1 kg | 2 kg | 5 kg |
|---|---|---|---|
| Prix | 3 € | 6 € | 15 € |
Reconnaître une situation non proportionnelle
Si le coefficient entre les deux grandeurs n’est pas constant, la situation n’est pas proportionnelle.
Un abonnement coûte 10 € par mois auxquels s’ajoutent 2 € par utilisation.
Le prix total n’est pas directement proportionnel au nombre d’utilisations car il existe une partie fixe de 10 €.
Dans un tableau de proportionnalité, le rapport entre deux valeurs correspondantes doit rester constant.
Le produit en croix
Le produit en croix permet de retrouver une valeur inconnue dans une situation de proportionnalité.
On obtient :
Trouver une valeur inconnue
4 articles coûtent 28 €.
Combien coûtent 7 articles au même prix unitaire ?
28 × 7 = 196
196 ÷ 4 = 49 €
Passer par l’unité
Le produit en croix n’est pas obligatoire. Il est parfois plus simple de calculer d’abord la valeur correspondant à une unité.
4 articles = 28 €.
1 article = 28 ÷ 4 = 7 €.
7 articles = 7 × 7 = 49 €
Dans un QCM, le passage à l’unité est souvent plus facile mentalement lorsque les nombres se divisent bien. Le produit en croix est surtout utile lorsque ce passage est moins évident.
Calculer un pourcentage
Un pourcentage exprime une proportion sur 100.
50 % = 0,5 = 1/2
25 % = 0,25 = 1/4
20 % = 0,20 = 1/5
10 % = 0,10 = 1/10
5 % = 0,05
Calculer p % d’une valeur
240 × 15 / 100 = 36
Méthodes mentales utiles
| Pourcentage | Méthode rapide |
|---|---|
| 50 % | Diviser par 2 |
| 25 % | Diviser par 4 |
| 20 % | Diviser par 5 |
| 10 % | Diviser par 10 |
| 5 % | Calculer 10 %, puis diviser par 2 |
| 1 % | Diviser par 100 |
10 % de 200 = 20.
5 % de 200 = 10.
Donc 15 % de 200 = 30
Trouver quel pourcentage représente une partie
Sur 80 candidats, 20 réussissent une épreuve.
(20 / 80) × 100 = 25 %
Dire que 30 personnes représentent 20 % d’un groupe ne signifie évidemment pas que le groupe contient 150 % ou 50 personnes. Il faut toujours identifier quelle donnée représente la totalité.
Le taux d’évolution
Le taux d’évolution permet de mesurer la variation entre une valeur initiale et une valeur finale.
Pour obtenir le résultat en pourcentage, on multiplie par 100.
Variation = 230 – 200 = 30.
30 / 200 = 0,15.
L’augmentation est donc de 15 %
Coefficient multiplicateur d’une hausse
Pour augmenter une valeur de p %, on peut directement la multiplier par :
Coefficient = 1 + 20/100 = 1,20
150 × 1,20 = 180
Coefficient multiplicateur d’une baisse
Pour diminuer une valeur de p %, on la multiplie par :
Coefficient = 1 – 20/100 = 0,80
150 × 0,80 = 120
+10 % → × 1,10
+25 % → × 1,25
+50 % → × 1,50
-10 % → × 0,90
-25 % → × 0,75
-50 % → × 0,50
Les évolutions successives
Deux évolutions successives ne s’additionnent généralement pas. Il faut appliquer successivement leurs coefficients multiplicateurs.
Valeur initiale : 100.
Après +10 % : 100 × 1,10 = 110.
Puis +20 % : 110 × 1,20 = 132
L’augmentation totale est donc de 32 %, et non 30 %.
Hausse puis baisse du même pourcentage
Une augmentation de 20 % suivie d’une diminution de 20 % ne ramène pas à la valeur de départ.
Valeur initiale : 100.
+20 % : 100 × 1,20 = 120.
-20 % : 120 × 0,80 = 96
La variation globale est donc de -4 %
Pour plusieurs évolutions successives, multipliez entre eux les coefficients multiplicateurs.
Retrouver la valeur initiale
Si une valeur finale résulte d’une hausse ou d’une baisse connue, on peut retrouver la valeur initiale en divisant par le coefficient.
Après une hausse de 20 %, un prix vaut 144 €.
Valeur initiale = 144 ÷ 1,20 = 120 €
Pour annuler une hausse de 20 %, il ne suffit pas de retirer 20 % de la nouvelle valeur. La base de calcul a changé.
Les moyennes
Une moyenne arithmétique est obtenue en additionnant les valeurs puis en divisant cette somme par leur nombre.
Notes : 12, 14 et 16.
(12 + 14 + 16) ÷ 3 = 42 ÷ 3 = 14
Moyenne pondérée
Lorsque les valeurs n’ont pas toutes la même importance ou le même effectif, il faut utiliser une moyenne pondérée.
Une note de 12 avec coefficient 1 et une note de 16 avec coefficient 3.
(12 × 1 + 16 × 3) / (1 + 3)
= (12 + 48) / 4 = 15
Moyenne de deux groupes
On ne peut pas simplement faire la moyenne des deux moyennes si les groupes n’ont pas le même effectif.
Groupe A : 10 personnes, moyenne 12.
Groupe B : 30 personnes, moyenne 16.
La moyenne globale n’est pas (12 + 16) ÷ 2 = 14, car les groupes n’ont pas la même taille.
(10 × 12 + 30 × 16) / 40
= (120 + 480) / 40 = 600 / 40 = 15
Les intérêts simples
Avec des intérêts simples, les intérêts sont calculés uniquement sur le capital initial.
Le taux doit être exprimé sous forme décimale et la durée dans l’unité correspondant au taux.
Capital : 2 000 €.
Taux annuel : 3 %.
Durée : 2 ans.
Intérêt = 2 000 × 0,03 × 2 = 120 €
Valeur acquise
2 000 + 120 = 2 120 €
Durée inférieure à une année
6 mois = 6/12 année = 0,5 année.
Pour 1 000 € placés à 4 % pendant 6 mois :
1 000 × 0,04 × 0,5 = 20 €
Avec des intérêts simples, les intérêts déjà produits ne génèrent pas eux-mêmes de nouveaux intérêts. On travaille toujours sur le capital initial.
Les calculs commerciaux
Plusieurs notions simples permettent de déterminer le coût, la marge, le bénéfice ou la perte associés à une opération commerciale.
Prix d’achat et prix de vente
Le prix d’achat correspond au prix payé pour acquérir un bien. Le prix de vente correspond au prix auquel ce bien est vendu.
Prix de revient
Le prix de revient tient compte du prix d’achat et des frais supportés pour disposer ou commercialiser le bien.
Prix d’achat : 80 €.
Frais : 15 €.
Prix de revient = 80 + 15 = 95 €
Bénéfice
Il y a bénéfice lorsque le prix de vente est supérieur au prix de revient.
Prix de revient : 95 €.
Prix de vente : 120 €.
Bénéfice = 120 – 95 = 25 €
Perte
Lorsque le prix de vente est inférieur au prix de revient, l’opération entraîne une perte.
Prix de revient : 95 €.
Prix de vente : 85 €.
Perte = 95 – 85 = 10 €
Remise
Une remise correspond à une diminution du prix initial.
Montant de la remise : 200 × 0,15 = 30 €.
Nouveau prix : 200 – 30 = 170 €
On peut aussi utiliser directement le coefficient multiplicateur :
Retrouver un prix avant réduction
Après une remise de 20 %, un article coûte 80 €.
Le coefficient est 0,80.
Prix initial = 80 ÷ 0,80 = 100 €
Pour retrouver le prix avant une réduction de 20 %, on ne rajoute pas simplement 20 % au prix réduit. Il faut diviser par 0,80
Pour une hausse ou une baisse simple, le coefficient multiplicateur permet souvent de gagner une ligne de calcul : +15 % → ×1,15 -15 % → ×0,85
Vérifiez vos acquis
Faites les calculs sur brouillon avant de revenir au cours.
Quel résultat obtenez-vous ?
Quel est le pourcentage d’augmentation ?
Quel est son nouveau prix ?
Revient-elle exactement à sa valeur initiale ?
Quelle moyenne obtenez-vous ?
Combien coûtent 7 articles au même prix unitaire ?
Quel montant d’intérêts est produit ?
Quel était son prix initial ?
Continuez avec les mesures et conversions
Poursuivez les mathématiques du tronc commun avec les unités, les conversions, les masses, la masse volumique et la densité.