Arithmétique, fractions, puissances et conversions
Consolidez les mécanismes indispensables à toute résolution mathématique : opérations, priorités, divisibilité, fractions, puissances, unités, échelles et différentes écritures des nombres.
Des règles élémentaires qui doivent devenir automatiques
Une grande partie des erreurs dans les exercices avancés ne vient pas de la notion principale, mais d’une fraction mal simplifiée, d’une puissance mal appliquée, d’une priorité oubliée ou d’une conversion incorrecte.
Sécuriser les calculs
Respecter l’ordre des opérations, gérer correctement les signes et conserver des écritures exactes aussi longtemps que possible.
Transformer les nombres
Passer d’une fraction à une valeur décimale ou à une écriture scientifique sans modifier la valeur représentée.
Contrôler la cohérence
Vérifier l’ordre de grandeur, l’unité, le signe et la vraisemblance du résultat obtenu.
Le calcul exact doit être privilégié
Ne remplacez pas trop tôt une fraction par une valeur décimale approchée. Une écriture exacte facilite souvent les simplifications et évite l’accumulation des erreurs d’arrondi.
Les quatre opérations et leurs priorités
Une expression doit être calculée dans un ordre déterminé. Cet ordre ne dépend ni de la disposition visuelle ni de la préférence du candidat : il est fixé par les règles de priorité.
Addition
Elle réunit plusieurs quantités. Son résultat s’appelle une somme.
Soustraction
Elle calcule une différence. L’ordre des termes ne peut pas être inversé.
Multiplication
Elle calcule un produit et est prioritaire sur l’addition et la soustraction.
Division
Elle calcule un quotient. Il est impossible de diviser un nombre par zéro.
Parenthèses → puissances → multiplications et divisions → additions et soustractions. Lorsque deux opérations ont la même priorité, on les effectue de gauche à droite.
Calculons : 18 − 3 × 4 + 2.
= 18 − 12 + 2
= 6 + 2
= 8
La multiplication est effectuée avant la soustraction et l’addition.
Calculons : (18 − 3) × (4 + 2).
= 15 × 6
= 90
Les calculs placés entre parenthèses sont effectués en premier.
Attention aux signes
Deux signes « moins » successifs ne doivent pas être traités au hasard. Par exemple, 7 − (−3) = 7 + 3 = 10, tandis que −7 − 3 = −10.
Multiples, diviseurs, parité et nombres premiers
La divisibilité permet de déterminer si un entier peut être partagé exactement par un autre, sans obtenir de reste. Elle intervient notamment dans la simplification des fractions et les problèmes de répartition.
| Notion | Définition | Exemple |
|---|---|---|
| Multiple | Un entier a est un multiple de b lorsqu’il existe un entier k tel que a = b × k. | 35 est un multiple de 5 car 35 = 5 × 7. |
| Diviseur | Un entier b est un diviseur de a lorsque la division de a par b donne un quotient entier sans reste. | 5 et 7 sont des diviseurs de 35. |
| Nombre pair | Entier divisible par 2. | 18 est pair car 18 = 2 × 9. |
| Nombre impair | Entier qui n’est pas divisible par 2. | 19 est impair. |
| Nombre premier | Entier naturel supérieur ou égal à 2 qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. | 2, 3, 5, 7, 11 et 13 sont premiers. |
Divisibilité par 2
Exemple : 1 236 est divisible par 2.
Divisibilité par 3
Pour 423 : 4 + 2 + 3 = 9. Donc 423 est divisible par 3.
Divisibilité par 5
Exemple : 2 315 est divisible par 5.
Divisibilité par 9
Pour 738 : 7 + 3 + 8 = 18. Donc 738 est divisible par 9.
Divisibilité par 10
Exemple : 4 890 est divisible par 10.
Divisibilité par 4
1 316 est divisible par 4 car 16 est divisible par 4.
Le nombre 1 n’est pas premier
Il ne possède qu’un seul diviseur positif, lui-même. Le nombre 2, en revanche, est premier et constitue l’unique nombre premier pair.
Comprendre et manipuler les fractions
Une fraction représente le quotient de deux nombres. Le nombre placé au-dessus est le numérateur ; celui placé au-dessous est le dénominateur. Le dénominateur ne peut jamais être nul.
Addition et soustraction
Les fractions doivent avoir le même dénominateur avant d’additionner ou de soustraire leurs numérateurs.
Multiplication
On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Division
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
Calculons : 3/4 + 5/6.
Le plus petit dénominateur commun à 4 et 6 est 12.
5/6 = 10/12
3/4 + 5/6 = 9/12 + 10/12 = 19/12
La fraction 19/12 est irréductible. Elle peut aussi s’écrire 1 + 7/12.
Calculons : 7/9 ÷ 14/15.
= 7/9 × 15/14
= 105/126
= 5/6
La simplification peut être effectuée avant la multiplication afin d’alléger les calculs.
Simplifier consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont plus de diviseur commun autre que 1.
Comparer avec le même dénominateur
Lorsque deux fractions ont le même dénominateur positif, la plus grande est celle qui possède le plus grand numérateur. Ainsi, 7/11 > 5/11.
Comparer par produit en croix
Pour comparer a/b et c/d avec b et d positifs, on compare les produits a × d et c × b. Par exemple, 3/7 < 5/9 car 3 × 9 = 27 et 5 × 7 = 35.
Erreur classique
On ne calcule jamais 2/3 + 1/4 en additionnant séparément les numérateurs et les dénominateurs. L’écriture 3/7 est fausse : il faut d’abord utiliser un dénominateur commun.
Les puissances et leurs règles de calcul
Une puissance permet d’écrire de manière compacte un produit répété. Pour un entier positif n, l’écriture an désigne le produit de n facteurs tous égaux à a.
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit de mêmes bases | am × an = am+n | 23 × 24 = 27 |
| Quotient de mêmes bases | am ÷ an = am−n | 56 ÷ 52 = 54 |
| Puissance d’une puissance | (am)n = amn | (32)4 = 38 |
| Puissance d’un produit | (ab)n = anbn | (2 × 5)3 = 23 × 53 |
| Exposant nul | a0 = 1 pour a ≠ 0 | 120 = 1 |
| Exposant négatif | a−n = 1/an | 10−3 = 1/1 000 = 0,001 |
Simplifions : (23 × 25) ÷ 24.
= 23+5 ÷ 2⁴
= 28−4
= 2⁴
= 16
−3² = −(3 × 3) = −9
Les parenthèses changent le sens de l’écriture : dans le premier cas, le signe appartient à la base.
Les exposants ne s’additionnent pas dans une somme
La règle am × an = am+n concerne une multiplication. En général, am + an ne peut pas être remplacé par am+n.
Écriture décimale, fractionnaire et scientifique
Un même nombre peut être représenté sous plusieurs formes. Le choix de l’écriture dépend du calcul à effectuer et du niveau de précision demandé.
| Écriture | Caractéristique | Exemple |
|---|---|---|
| Entière | Aucune partie décimale. | 25 |
| Décimale | Écriture comportant une partie entière et éventuellement des décimales. | 2,5 |
| Fractionnaire | Quotient de deux entiers dont le dénominateur est non nul. | 5/2 |
| Scientifique | Produit a × 10n, avec 1 ≤ |a| < 10 et n entier. | 2,5 × 103 |
Pour convertir 3/8, on effectue la division 3 ÷ 8.
La valeur décimale est ici exacte.
0,00072 = 7,2 × 10⁻⁴
Le nombre placé devant la puissance de 10 doit être supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10 en valeur absolue.
Valeur exacte ou valeur approchée
La fraction 1/3 est une valeur exacte. Son écriture décimale 0,333… est illimitée. Écrire 0,33 revient donc à utiliser une valeur approchée au centième.
Convertir sans modifier la grandeur
Une conversion change l’unité utilisée, mais pas la quantité mesurée. Il faut distinguer les longueurs, les aires et les volumes : leurs facteurs de conversion ne sont pas identiques.
Longueurs
Chaque déplacement d’une unité métrique vers l’unité voisine correspond à une multiplication ou une division par 10.
Aires
Chaque déplacement vers l’unité d’aire voisine correspond à une multiplication ou une division par 100.
Volumes
Chaque déplacement vers l’unité de volume voisine correspond à une multiplication ou une division par 1 000.
| Grandeur | Relation principale | Exemple |
|---|---|---|
| Longueur | 1 km = 1 000 m | 2,75 km = 2 750 m |
| Aire | 1 m² = 10 000 cm² | 3,2 m² = 32 000 cm² |
| Volume | 1 m³ = 1 000 dm³ | 0,75 m³ = 750 dm³ |
| Capacité | 1 L = 1 dm³ | 2,5 L = 2,5 dm³ |
| Masse | 1 kg = 1 000 g | 4,8 kg = 4 800 g |
| Durée | 1 h = 60 min et 1 min = 60 s | 1 h 30 min = 90 min |
Convertissons 4,5 m² en cm².
donc 1 m² = 100² cm² = 10 000 cm²
4,5 m² = 4,5 × 10 000 = 45 000 cm²
Convertissons 72 km/h en m/s.
1 h = 3 600 s
72 km/h = 72 000 ÷ 3 600 = 20 m/s
Pour passer directement de km/h à m/s, on peut diviser par 3,6.
Le piège des aires et des volumes
Puisque 1 m = 100 cm, on pourrait être tenté d’écrire 1 m² = 100 cm². C’est faux : 1 m² = 100 cm × 100 cm = 10 000 cm².
Comprendre et utiliser l’échelle d’une carte
Une échelle exprime le rapport entre une distance mesurée sur un document et la distance réelle correspondante. Les deux distances doivent être exprimées dans la même unité avant d’effectuer le calcul.
Calculer l’échelle
Les deux distances doivent être exprimées dans la même unité.
Calculer la distance réelle
Pour une échelle 1/50 000, on multiplie la distance carte par 50 000.
Calculer la distance sur la carte
Il faut ensuite convertir le résultat dans l’unité demandée.
Sur une carte à l’échelle 1/25 000, deux points sont séparés de 6 cm.
= 150 000 cm
= 1 500 m
= 1,5 km
La distance réelle est donc de 1,5 km.
Une distance réelle de 12 km est représentée par 4 cm.
Échelle = 4 / 1 200 000
= 1 / 300 000
La carte est à l’échelle 1/300 000.
Une unité mesurée sur la carte représente 100 000 unités dans la réalité. Ainsi, 1 cm sur la carte correspond à 100 000 cm, soit 1 km sur le terrain.
Résoudre une QRC d’arithmétique
La présentation doit permettre de suivre les calculs et de vérifier que les unités, les règles et les transformations ont été correctement appliquées.
Terminez par une véritable réponse
Après les calculs, rédigez une phrase répondant à la question. Un résultat comme « 1,5 » reste incomplet si l’on ne précise pas qu’il s’agit, par exemple, d’une distance de 1,5 km.
Les quatre réflexes à conserver
Priorités
Parenthèses, puissances, produits et quotients, puis sommes et différences.
Fractions
Utiliser un dénominateur commun pour additionner et multiplier par l’inverse pour diviser.
Puissances
Ajouter les exposants dans un produit de mêmes bases, pas dans une addition.
Conversions
Contrôler la nature de la grandeur et conserver des unités cohérentes pendant tout le calcul.
Lire les données → identifier la grandeur → uniformiser les écritures et les unités → choisir l’opération → respecter les priorités → calculer → simplifier → vérifier → conclure.
Consolider les règles essentielles
Peut-on additionner directement deux fractions ?
Seulement lorsqu’elles possèdent le même dénominateur. Dans le cas contraire, il faut d’abord les transformer afin d’obtenir un dénominateur commun.
Pourquoi ne faut-il pas arrondir trop tôt ?
Chaque arrondi introduit un écart. Si plusieurs calculs successifs utilisent des valeurs déjà arrondies, les erreurs peuvent s’additionner et modifier sensiblement le résultat final.
Quelle différence entre −3² et (−3)² ?
Dans −3², la puissance porte uniquement sur 3 : le résultat est −9. Dans (−3)², la base entière est −3 : le résultat est 9.
Comment reconnaître une écriture scientifique correcte ?
Elle doit être de la forme a × 10n, avec n entier et un coefficient a dont la valeur absolue est supérieure ou égale à 1 et strictement inférieure à 10.
Pourquoi les conversions d’aires utilisent-elles des facteurs de 100 ?
Parce qu’une aire possède deux dimensions. Si une longueur est multipliée par 10, l’aire correspondante est multipliée par 10², soit 100.
Comment éviter les erreurs dans un exercice d’échelle ?
Commencez toujours par convertir la distance sur la carte et la distance réelle dans la même unité. Appliquez ensuite le rapport d’échelle et reconvertissez le résultat si nécessaire.
Comment vérifier rapidement un résultat ?
Contrôlez le signe, l’ordre de grandeur et l’unité. Demandez-vous aussi si l’opération choisie devait produire un résultat plus grand ou plus petit que les données initiales.
Poursuivez avec le calcul algébrique
Après avoir consolidé les nombres, les fractions et les puissances, apprenez à transformer les expressions littérales et à résoudre des équations et des inéquations.
Étudier le calcul algébrique