Classements et ordonnancement
Apprenez à exploiter des informations de rang, position, ordre, comparaison et chronologie pour reconstituer un classement et déterminer la seule position compatible avec l’ensemble des contraintes.
Transformer des phrases en positions
Les problèmes de classement fournissent plusieurs informations permettant de situer des personnes, des objets ou des événements les uns par rapport aux autres.
La meilleure méthode consiste à transformer immédiatement les phrases en un schéma simple Il devient alors beaucoup plus facile de combiner les informations et de repérer les positions possibles ou impossibles.
La méthode générale
Un problème d’ordonnancement devient beaucoup plus simple lorsque chaque information est traduite immédiatement sous une forme courte.
Du plus petit au plus grand ? Du premier au dernier ? Du plus ancien au plus récent ?
Utilisez des flèches, des signes < et > ou des positions numérotées.
Une position exacte ou une relation immédiate apporte plus d’informations qu’une simple comparaison.
Combinez progressivement les petits morceaux jusqu’à obtenir un ordre plus complet.
Lorsque plusieurs places restent libres, vérifiez lesquelles respectent toutes les contraintes.
On peut vous demander ce qui est certain, possible, impossible ou nécessaire.
Ne cherchez pas forcément à reconstruire le classement complet. Si la question demande uniquement qui est devant Paul, il peut être inutile de déterminer la position exacte de tous les autres.
Les comparaisons
Le cas le plus simple consiste à comparer plusieurs éléments selon une caractéristique : taille, âge, score, distance, poids, prix ou toute autre grandeur.
Traduire une comparaison
Supposons :
- Paul est plus grand que Léa ;
- Léa est plus grande que Hugo.
On peut écrire :
Paul est nécessairement plus grand que Hugo, même si cette information n’est pas donnée directement.
Chaîner plusieurs relations
On sait que :
- A est plus rapide que B ;
- D est plus rapide que A ;
- B est plus rapide que C.
En réorganisant :
Lorsque plusieurs relations utilisent les mêmes éléments, essayez immédiatement de les raccorder en une seule chaîne.
Les positions relatives
Certaines informations n’indiquent pas un rang exact, mais seulement la position d’un élément par rapport à un autre.
Avant et après
Si A passe avant B :
Si C passe après B :
Immédiatement avant
« A est immédiatement avant B » est beaucoup plus contraignant que « A est avant B ».
A avant B :
d’autres éléments peuvent se trouver entre eux.
A immédiatement avant B :
leurs positions doivent être consécutives.
« Avant », « juste avant », « immédiatement avant » et « deux places avant » ne donnent pas la même information.
Les rangs et les classements
Certaines questions indiquent directement la position d’un candidat ou demandent de la déduire à partir d’autres rangs.
Rang depuis le début et depuis la fin
Dans un classement de n personnes, si une personne est au rang r depuis le début :
Une course comporte 30 participants. Léa termine 8e.
Son rang depuis la fin est : 30 – 8 + 1 = 23e
Sans le +1, on compte uniquement les personnes placées derrière Léa. Il faut également compter Léa elle-même.
Retrouver l’effectif total
Si une personne est 7e depuis le début et 12e depuis la fin :
Effectif total = rang depuis le début + rang depuis la fin – 1.
Les files et les positions
Les questions de file combinent souvent un nombre de personnes et une position comptée depuis l’avant ou l’arrière.
Une file compte 20 personnes. Marc est 6e depuis le début.
Il y a donc : 20 – 6 = 14 personnes derrière lui
Combien de personnes devant ?
Si Marc est 6e :
Combien entre deux personnes ?
Si A est 4e et B 10e :
Il y a donc 5 personnes entre A et B
10 – 4 = 6 donne l’écart de rang, mais ce résultat compte également une extrémité. Pour connaître uniquement les personnes situées entre les deux : on retire encore 1.
L’ordre chronologique
Les mêmes principes s’appliquent lorsqu’il faut ordonner des événements dans le temps.
L’événement B se produit après A.
C se produit avant A.
D se produit après B.
On construit :
Relations indirectes
Même si l’énoncé ne le dit jamais directement, on sait nécessairement que C se produit avant D.
Pour une chronologie, utilisez toujours le même sens de lecture : ancien → récent ou avant → après Ne changez pas de convention au milieu de l’exercice.
Les contraintes « entre deux éléments »
Une information comme « B est entre A et C » impose une relation particulière sans toujours préciser lequel de A ou C vient en premier.
Deux ordres restent possibles :
ou
Ajouter une deuxième information
Si l’on apprend ensuite que A est avant C, une seule possibilité subsiste :
« B est entre A et C » ne permet pas, à lui seul, de savoir si A est avant C ou si C est avant A.
Combiner plusieurs contraintes
Les exercices plus complets fournissent plusieurs informations qu’il faut utiliser ensemble.
Exemple
Cinq personnes — A, B, C, D et E — sont classées.
- A est avant C ;
- D est après C ;
- B est avant A ;
- E est après D.
Première relation
Ajouter B
B est avant A :
Ajouter E
E est après D :
B est premier, A deuxième, C troisième, D quatrième et E cinquième.
Commencer par la contrainte la plus forte
Si une personne est explicitement « troisième », placez-la immédiatement. Une position fixe donne généralement davantage d’informations qu’une simple relation « avant ».
Position exacte → immédiatement avant/après → entre → avant/après simple.
Les dispositions circulaires
Lorsqu’un groupe est disposé autour d’une table ou en cercle, il n’existe plus naturellement de première ou de dernière position.
Fixer un repère
Pour éviter de reproduire plusieurs fois la même disposition simplement tournée, commencez par placer arbitrairement une personne à une position fixe.
Si A, B, C et D sont autour d’une table, placez A en haut du schéma. Il reste ensuite seulement à déterminer les positions relatives de B, C et D.
À droite et à gauche
L’interprétation dépend du sens dans lequel les personnes sont orientées. Dans un exercice, utilisez strictement la convention fournie par l’énoncé.
La droite d’une personne assise face au centre d’une table n’est pas forcément la droite du lecteur regardant le dessin. La formulation de l’énoncé doit donc être suivie avec précision.
Voisins
Dans un cercle, chaque personne possède généralement deux voisins immédiats.
Pour les petits exercices circulaires, un simple cercle avec les initiales est souvent plus efficace qu’un raisonnement uniquement verbal.
Stratégie pour le QCM
Repérer les mots forts
| Expression | Information obtenue |
|---|---|
| A avant B | A est placé quelque part avant B. |
| A immédiatement avant B | A et B sont consécutifs. |
| A deux places avant B | L’écart de rang est exactement 2. |
| B entre A et C | B doit être situé entre les deux, mais leur ordre peut rester inconnu. |
| A troisième | Position exacte. |
| A n’est pas premier | Élimination d’une position seulement. |
Ce qui est possible n’est pas forcément certain
Supposons que deux classements différents satisfassent toutes les informations. Une proposition vraie dans un seul des deux est possible mais pas nécessairement certaine
« Peut être vrai », « doit être vrai », « ne peut pas être vrai » et « est nécessairement faux » ne demandent pas le même raisonnement.
Tester directement les réponses
Lorsque quatre classements complets sont proposés, il peut être plus rapide de vérifier successivement les contraintes dans chaque proposition que de reconstruire tout le classement.
Si l’énoncé dit immédiatement que A est avant B, supprimez toutes les propositions où B apparaît avant A avant même d’utiliser les autres informations.
Utiliser le brouillon
C > A
E = 2e
Quelques symboles suffisent. Il n’est pas nécessaire de recopier les phrases entières.
Traduire → placer les contraintes fortes → relier les informations → éliminer → répondre uniquement à ce qui est demandé.
Les calculs de position utiles
| Question | Calcul |
|---|---|
| Personnes devant le rang r | r – 1 |
| Personnes derrière dans un groupe de n | n – r |
| Rang depuis la fin | n – r + 1 |
| Effectif total à partir des deux rangs | rang début + rang fin – 1 |
| Personnes entre les rangs a et b | |b – a| – 1 |
« Nombre de places d’écart » et « nombre de personnes entre deux candidats » ne donnent pas nécessairement le même résultat.
Vérifiez vos acquis
Essayez de construire mentalement ou sur brouillon les relations.
A est plus grand que B. B est plus grand que C. D est plus grand que A. Qui est nécessairement le plus grand ?
Une course compte 40 participants. Léa termine 12e. Quel est son rang en comptant depuis la fin ?
Paul est 6e depuis le début et 15e depuis la fin. Combien de personnes comporte la file ?
A est 5e et B est 12e. Combien de personnes sont placées entre eux ?
B se produit après A. C se produit avant A. D se produit après B. Quel événement est nécessairement le premier ?
A est avant C.
D est immédiatement après A.
C est avant B.
Quel élément est nécessairement avant B ?
B est entre A et C. A est avant C. Quel ordre est imposé ?
Marc est 9e dans une file de 25 personnes. Combien de personnes sont derrière lui ?
C est troisième.
A est avant C.
B est immédiatement après C.
Quelle est la position de B ?
A est avant B et C est après B. Peut-on affirmer que A est avant C ?
Continuez avec le raisonnement déductif
Vous savez maintenant transformer des informations de position en relations. Passez aux implications, conditions, conclusions certaines et raisonnements par élimination.