Géométrie : figures, aires, volumes et théorèmes
Maîtrisez les figures usuelles, angles, périmètres, aires, théorèmes de Pythagore et de Thalès, cercle, solides, volumes et repérage nécessaires pour résoudre rapidement les questions de géométrie du QCM.
Reconnaître la bonne formule et l’appliquer rapidement
Les questions de géométrie demandent surtout de reconnaître une figure, d’identifier les données utiles et de choisir la formule ou le théorème adapté.
Pour le QCM, il faut notamment savoir calculer des longueurs, périmètres, aires et volumes, exploiter les propriétés des figures usuelles et utiliser correctement Pythagore et Thalès.
Points, droites et angles
Un point indique une position. Une droite est illimitée dans les deux sens. Un segment est une portion de droite comprise entre deux points.
Droites parallèles et perpendiculaires
- Deux droites parallèles ne se coupent pas.
- Deux droites perpendiculaires se coupent en formant un angle droit.
La somme des angles d’un triangle est toujours égale à 180°.
Les triangles
| Triangle | Propriété |
|---|---|
| Équilatéral | Trois côtés égaux et trois angles de 60°. |
| Isocèle | Deux côtés égaux et deux angles égaux. |
| Rectangle | Possède un angle droit. |
| Quelconque | Ne possède aucune des propriétés précédentes. |
Le théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore s’applique uniquement dans un triangle rectangle.
3² + 4² = 9 + 16 = 25. √25 = 5.
Repérez toujours le côté opposé à l’angle droit : c’est l’hypoténuse.
Le théorème de Thalès
Le théorème de Thalès permet de calculer une longueur lorsque des droites parallèles créent des triangles de même forme.
Respectez toujours le même ordre des points dans les rapports.
Les quadrilatères
| Figure | Principales propriétés |
|---|---|
| Carré | 4 côtés égaux et 4 angles droits. |
| Rectangle | Côtés opposés égaux et parallèles, 4 angles droits. |
| Losange | 4 côtés égaux ; diagonales perpendiculaires. |
| Parallélogramme | Côtés opposés parallèles et égaux. |
| Trapèze | Possède au moins une paire de côtés parallèles. |
Le cercle et le disque
r = rayon : distance entre le centre et le bord du cercle.
d = diamètre : segment qui traverse le cercle en passant par son centre.
C = circonférence : longueur du contour du cercle, autrement dit son périmètre.
A = aire : surface située à l’intérieur du disque.
π (pi) ≈ 3,14.
1. Passer du rayon au diamètre
Le diamètre traverse tout le cercle en passant par son centre. Il est donc composé de deux rayons.
2. Calculer la circonférence : le contour du cercle
La circonférence correspond à la longueur que l’on parcourrait en faisant exactement le tour du cercle. Comme le diamètre vaut deux fois le rayon, on peut utiliser indifféremment l’une des deux formules suivantes.
C = 2 × π × 5 = 10π ≈ 10 × 3,14 = 31,4 cm.
Une circonférence est une longueur : le résultat s’exprime donc en cm, m, km, etc.
3. Calculer l’aire du disque : la surface intérieure
L’aire ne mesure pas le contour, mais toute la surface comprise à l’intérieur du cercle. La formule utilise obligatoirement le rayon.
r² = 5² = 25.
A = π × 25 = 25π ≈ 25 × 3,14 = 78,5 cm².
Une aire est une surface : le résultat s’exprime en cm², m², km², etc.
Dans la formule A = πr², il faut utiliser le rayon. Si l’énoncé donne un diamètre de 10 cm, commencez par calculer le rayon : r = 10 ÷ 2 = 5 cm. Utiliser directement 10 dans πr² donnerait une aire quatre fois trop grande.
Contour du cercle → C = 2πr → unité simple.
Surface du disque → A = πr² → unité carrée.
Périmètres et aires
| Figure | Périmètre | Aire |
|---|---|---|
| Carré de côté c | 4c | c² |
| Rectangle L × l | 2(L + l) | L × l |
| Triangle | Somme des 3 côtés | (base × hauteur) ÷ 2 |
| Parallélogramme | 2(a + b) | base × hauteur |
| Trapèze | Somme des 4 côtés | ((B + b) × h) ÷ 2 |
| Disque | 2πr | πr² |
Solides et volumes
| Solide | Volume |
|---|---|
| Cube | V = c³ |
| Pavé droit | V = L × l × h |
| Prisme droit | V = aire de la base × hauteur |
| Cylindre | V = πr²h |
| Pyramide | V = (aire de la base × hauteur) ÷ 3 |
| Cône | V = (πr²h) ÷ 3 |
| Boule | V = (4πr³) ÷ 3 |
Repérage et coordonnées
Un repère permet de situer précisément un point dans le plan. Il est formé de deux axes qui se coupent à l’origine O : l’axe horizontal est l’axe des abscisses et l’axe vertical est l’axe des ordonnées.
1. Lire les coordonnées d’un point
Les coordonnées d’un point s’écrivent toujours dans cet ordre : abscisse d’abord, ordonnée ensuite.
x est l’abscisse : elle indique la position horizontale du point.
y est l’ordonnée : elle indique la position verticale du point.
Pour placer A, partez de l’origine O.
1. Déplacez-vous de 3 unités horizontalement vers la droitec’est l’abscisse.
2. Puis montez de 2 unitésc’est l’ordonnée.
Vous obtenez le point A(3 ; 2)
A(3 ; 2) et A(2 ; 3) ne désignent pas le même point. Dans une paire de coordonnées, on lit toujours horizontalement d’abord, verticalement ensuite
2. Comprendre les coordonnées négatives
À partir de l’origine O, une abscisse positive conduit vers la droite et une abscisse négative vers la gauche. Une ordonnée positive conduit vers le haut et une ordonnée négative vers le bas.
| Coordonnée | Déplacement |
|---|---|
| x positif | Vers la droite |
| x négatif | Vers la gauche |
| y positif | Vers le haut |
| y négatif | Vers le bas |
L’abscisse -4 signifie qu’il faut aller de 4 unités vers la gauche L’ordonnée 3 signifie qu’il faut ensuite monter de 3 unités
3. Calculer le milieu d’un segment
Si l’on connaît les coordonnées des deux extrémités d’un segment, on peut calculer les coordonnées de son milieu. Il suffit de faire la moyenne des deux abscisses, puis la moyenne des deux ordonnées.
Soient deux points A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂). Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées :
Pour l’abscisse du milieu : (2 + 6) ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4
Pour l’ordonnée du milieu : (4 + 10) ÷ 2 = 14 ÷ 2 = 7
Le milieu est donc M(4 ; 7)
Milieu = moyenne des x ; moyenne des y Il n’est pas nécessaire d’apprendre la formule comme une suite de symboles si vous comprenez cette règle.
4. Calculer la distance entre deux points
La distance entre deux points A et B correspond à la longueur du segment [AB]. Lorsque les deux points ne sont ni sur la même horizontale ni sur la même verticale, on utilise une formule directement issue du théorème de Pythagore.
x₂ − x₁ mesure l’écart horizontal entre A et B.
y₂ − y₁ mesure l’écart vertical entre A et B.
Ces deux écarts forment les côtés d’un triangle rectangle.
La distance AB est son hypoténuse : on applique donc Pythagore.
Écart horizontal : 4 − 1 = 3
Écart vertical : 6 − 2 = 4
AB = √(3² + 4²)
AB = √(9 + 16)
AB = √25 = 5
5. Les cas très simples
La grande formule n’est pas toujours nécessaire. Si les deux points ont la même ordonnée, le segment est horizontal. S’ils ont la même abscisse, il est vertical.
A(2 ; 5) et B(8 ; 5) ont la même ordonnée.
AB = 8 − 2 = 6 unités
C(3 ; 1) et D(3 ; 7) ont la même abscisse.
CD = 7 − 1 = 6 unités
Ne confondez pas abscisse et ordonnée. Respectez l’ordre (x ; y). Pour le milieu, faites bien deux moyennes distinctes. Pour une distance, n’oubliez ni les carrés ni la racine carrée finale.
A(x ; y) = horizontal puis vertical.
Milieu = moyenne des x puis moyenne des y.
Distance = Pythagore appliqué aux écarts horizontal et vertical.
Les formules essentielles
| Notion | Formule ou règle |
|---|---|
| Somme des angles d’un triangle | 180° |
| Aire du triangle | (base × hauteur) ÷ 2 |
| Pythagore | hypoténuse² = côté² + côté² |
| Thalès | Rapports de longueurs correspondantes égaux |
| Périmètre du rectangle | 2(L + l) |
| Aire du rectangle | L × l |
| Circonférence | 2πr |
| Aire du disque | πr² |
| Volume du pavé | L × l × h |
| Volume du cylindre | πr²h |
| Volume du cône | πr²h ÷ 3 |
| Volume de la boule | 4πr³ ÷ 3 |
Vérifiez vos acquis
Essayez de répondre sans consulter les formules précédentes.
Un triangle possède deux angles de 35° et 65°. Combien mesure le troisième ?
Quelle est l’aire d’un triangle de base 12 cm et de hauteur 7 cm ?
Un triangle rectangle possède des côtés de 6 cm et 8 cm. Quelle est son hypoténuse ?
Un rectangle mesure 9 m sur 4 m. Calculez son périmètre et son aire.
Quel est le diamètre d’un cercle dont le rayon mesure 7 cm ?
Quelle est l’aire exacte d’un disque de rayon 5 cm ?
Quel est le volume d’un pavé droit de dimensions 8 cm × 4 cm × 3 cm ?
Quel est le milieu du segment reliant A(2 ; 4) à B(6 ; 10) ?
Une aire peut-elle être exprimée en mètres cubes ?
Vous avez parcouru les grands chapitres de mathématiques du tronc commun
Calcul et nombres, divisibilité, puissances et racines, proportionnalité, mesures, algèbre et géométrie : revenez maintenant sur les notions les moins maîtrisées et entraînez-vous jusqu’à reconnaître immédiatement les méthodes et formules à utiliser.