Suites arithmétiques et géométriques
Apprenez à reconnaître une suite, calculer ses termes, passer d’une relation de récurrence à une expression explicite, étudier ses variations et calculer la somme de termes consécutifs.
Une suite associe un nombre à chaque rang entier
Une suite numérique permet de décrire une succession ordonnée de valeurs : capital disponible chaque année, population à chaque période, quantité produite ou montant d’une mensualité. Chaque terme est identifié par son rang.
Évolution additive
Une quantité augmente ou diminue régulièrement d’un même montant. Elle peut être modélisée par une suite arithmétique.
Évolution multiplicative
Une quantité est multipliée à chaque période par un même coefficient. Elle relève d’une suite géométrique.
Prévision
L’expression du terme général permet d’atteindre directement un rang éloigné sans calculer tous les termes précédents.
Le rang n’est pas la valeur du terme
Dans l’écriture u5 = 18, le nombre 5 est le rang et 18 la valeur du terme correspondant. Il faut toujours distinguer la position du terme et sa valeur.
Définir et noter une suite numérique
Une suite est généralement notée (un). La lettre n désigne un entier naturel représentant le rang, tandis que un désigne le terme situé à ce rang.
Terme initial
La suite peut commencer à u0 ou à u1. Ce choix modifie l’exposant ou le nombre d’étapes dans les formules.
Relation explicite
Le terme un est directement exprimé en fonction de n. On peut calculer n’importe quel terme sans connaître les précédents.
Relation de récurrence
Un terme est défini à partir d’un ou de plusieurs termes antérieurs. Il faut connaître le terme initial pour commencer les calculs.
Définition explicite
Pour obtenir u8, il suffit de remplacer n par 8.
Définition par récurrence
Chaque terme est obtenu en ajoutant 3 au terme précédent.
Si le premier terme est u0, atteindre un demande n étapes. Si le premier terme est u1, atteindre un demande n − 1 étapes. C’est le petit détail qui sème de grands ravages dans les copies.
Calculer un terme à partir de la définition
La méthode dépend de la manière dont la suite est définie. Une formule explicite permet un calcul direct, tandis qu’une relation de récurrence impose généralement de calculer les termes successifs.
Soit un = 2n² − 3n + 1. Calculons u4.
= 2 × 16 − 12 + 1
= 32 − 12 + 1
= 21
Le terme de rang 4 est égal à 21.
Soit u0 = 4 et un+1 = 2un − 1. Calculons les trois termes suivants.
u2 = 2 × 7 − 1 = 13
u3 = 2 × 13 − 1 = 25
Chaque résultat devient la valeur utilisée pour calculer le terme suivant.
Ne remplacez pas n au mauvais endroit
Dans une relation un+1 = 2un − 1, le symbole un représente le terme précédent. Il ne doit pas être remplacé par le nombre n.
Les suites arithmétiques
Une suite est arithmétique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé raison.
Relation de récurrence
Le nombre r est la raison de la suite arithmétique.
Terme général depuis u₀
Entre le rang 0 et le rang n, la raison est ajoutée n fois.
Terme général depuis u₁
Entre le rang 1 et le rang n, la raison est ajoutée n − 1 fois.
Pour tous rangs p et n, une suite arithmétique vérifie un = up + (n − p)r. Cette formule évite de revenir systématiquement au premier terme.
Une suite arithmétique vérifie u0 = 7 et r = 4. Calculons u12.
u12 = 7 + 12 × 4
= 7 + 48
= 55
On sait que u5 = 18 et u11 = 42.
42 = 18 + 6r
24 = 6r
r = 4
La raison de la suite est égale à 4.
Reconnaître une suite arithmétique
Si la différence un+1 − un est constante et égale à r, la suite est arithmétique de raison r.
Les suites géométriques
Une suite est géométrique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en le multipliant toujours par le même nombre, appelé raison. Dans le programme, l’étude des variations porte notamment sur les suites géométriques à termes positifs.
Relation de récurrence
Le nombre q est la raison de la suite géométrique.
Terme général depuis u₀
Entre les rangs 0 et n, la multiplication est répétée n fois.
Terme général depuis u₁
Entre les rangs 1 et n, la multiplication est répétée n − 1 fois.
Pour tous rangs p et n, une suite géométrique vérifie un = up × qn−p.
Une suite géométrique vérifie u0 = 5 et q = 2. Calculons u6.
u6 = 5 × 26
= 5 × 64
= 320
Une quantité initiale de 2 000 augmente de 3 % chaque année.
q = 1 + 3/100 = 1,03
un = 2 000 × 1,03n
Une évolution répétée en pourcentage est multiplicative et se modélise donc par une suite géométrique.
Reconnaître une suite géométrique
Lorsque les termes sont non nuls, si le quotient un+1 / un est constant et égal à q, la suite est géométrique de raison q.
Arithmétique ou géométrique ?
Le type de suite dépend de la transformation effectuée à chaque étape : ajout d’une même quantité ou multiplication par un même coefficient.
Suite arithmétique
Transformation : ajouter r.
Récurrence : un+1 = un + r.
Test : un+1 − un est constant.
Modèle : évolution d’un montant fixe.
Suite géométrique
Transformation : multiplier par q.
Récurrence : un+1 = q × un.
Test : un+1 / un est constant.
Modèle : évolution répétée en pourcentage.
| Situation | Transformation | Type de suite |
|---|---|---|
| Épargner 80 € supplémentaires chaque mois | Ajouter 80 | Arithmétique de raison 80 |
| Augmentation annuelle de 2 % | Multiplier par 1,02 | Géométrique de raison 1,02 |
| Perdre 150 habitants chaque année | Ajouter −150 | Arithmétique de raison −150 |
| Diminution annuelle de 4 % | Multiplier par 0,96 | Géométrique de raison 0,96 |
Une hausse de 5 % ne signifie pas ajouter 0,05
Augmenter une quantité de 5 % revient à la multiplier par 1,05. Ajouter 0,05 modifierait la quantité de cinq centièmes seulement, quel que soit son montant initial.
Étudier les variations d’une suite
Une suite est croissante lorsque chaque terme est supérieur ou égal au précédent. Elle est décroissante lorsque chaque terme est inférieur ou égal au précédent.
Suite croissante
La différence un+1 − un est positive ou nulle.
Suite décroissante
La différence un+1 − un est négative ou nulle.
Suite constante
Tous les termes ont la même valeur.
| Type de suite | Condition | Variation |
|---|---|---|
| Arithmétique | r > 0 | Strictement croissante |
| Arithmétique | r = 0 | Constante |
| Arithmétique | r < 0 | Strictement décroissante |
| Géométrique à termes strictement positifs | q > 1 | Strictement croissante |
| Géométrique à termes strictement positifs | q = 1 | Constante |
| Géométrique à termes strictement positifs | 0 < q < 1 | Strictement décroissante |
Soit une suite géométrique à termes strictement positifs de raison q = 0,85.
Chaque terme représente 85 % du précédent. La suite est donc strictement décroissante.
Pourquoi préciser « à termes positifs » ?
Pour une suite géométrique comportant des termes négatifs ou une raison négative, le comportement peut être différent. Une raison négative provoque notamment une alternance des signes.
Calculer la somme des premiers termes
Avant d’appliquer une formule, comptez précisément le nombre de termes. De u0 à un, il y a n + 1 termes. De u1 à un, il y en a n.
Somme arithmétique
Cette formule s’applique à une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique.
Somme géométrique
Cette formule s’utilise lorsque q ≠ 1. Si q = 1, tous les termes sont égaux.
Une suite arithmétique vérifie u1 = 5 et u10 = 32. Calculons S = u1 + … + u10.
S = 10 × (5 + 32) / 2
= 10 × 37 / 2
= 185
Une suite géométrique vérifie u0 = 3 et q = 2. Calculons S = u0 + … + u5.
S = 3 × (1 − 26) / (1 − 2)
= 3 × (1 − 64) / (−1)
= 3 × 63
= 189
Le piège du nombre de termes
La somme u0 + u1 + … + u8 contient 9 termes, et non 8. La formule générale est : nombre de termes = dernier rang − premier rang + 1.
Représenter graphiquement une suite
Une suite est représentée par des points isolés de coordonnées (n ; un). La variable n ne prend que des valeurs entières : les points ne doivent donc pas être reliés comme ceux d’une fonction continue.
Suite arithmétique
Les points représentant une suite arithmétique sont alignés, car son terme général est une expression affine de n.
Suite géométrique
Les points ne sont généralement pas alignés. L’écart entre les termes évolue avec leur valeur.
Lecture graphique
L’abscisse donne le rang n et l’ordonnée donne la valeur du terme un.
Des points isolés, pas une courbe continue
Une suite est définie pour des rangs entiers. Relier les points pourrait laisser croire qu’une valeur existe pour des rangs comme 2,5 ou 3,7, ce qui n’est pas le cas dans la définition usuelle.
Modéliser une évolution avec une suite
La difficulté principale consiste souvent à identifier le terme initial, l’unité du rang et la transformation appliquée à chaque période.
Une personne possède 1 200 € au départ et ajoute 75 € à la fin de chaque mois. On note un le capital disponible après n versements.
Évolution : un+1 = un + 75
La suite est arithmétique de raison 75.
un = 1 200 + 75n
Après 12 versements :
= 1 200 + 900
= 2 100 €
Un matériel vaut 15 000 € et perd 12 % de sa valeur chaque année. On note vn sa valeur après n années.
v0 = 15 000
vn+1 = 0,88vn
vn = 15 000 × 0,88n
La suite est géométrique de raison 0,88. Elle est décroissante puisque ses termes sont positifs et que 0 < 0,88 < 1.
Toujours interpréter le rang
Précisez si u0 représente la situation initiale et si u1 correspond à la première année, au premier mois ou au premier versement. Cette phrase évite les décalages d’un rang.
Traiter une QRC sur les suites
Une résolution efficace commence par l’identification du terme initial et du mode d’évolution, puis présente la relation de récurrence, le terme général et l’interprétation du résultat.
Une formule doit être accompagnée d’une justification
N’écrivez pas seulement « un = 1 000 × 1,04n ». Indiquez que la quantité augmente de 4 % par période, qu’elle est donc multipliée par 1,04 et que la suite est géométrique de raison 1,04.
Les quatre réflexes à conserver
Premier rang
Vérifier si la suite commence à u0 ou à u1 avant toute formule.
Arithmétique
Même différence entre deux termes consécutifs : on ajoute une raison r.
Géométrique
Même quotient entre deux termes consécutifs : on multiplie par une raison q.
Somme
Compter les termes avec la formule : dernier rang − premier rang + 1.
Définir un → repérer le terme initial → identifier addition ou multiplication → déterminer la raison → écrire la récurrence → établir le terme général → calculer le rang demandé → interpréter.
Consolider les notions essentielles
Quelle différence entre uₙ et n ?
n désigne le rang du terme, tandis que un désigne la valeur du terme situé à ce rang.
Comment reconnaître une suite arithmétique ?
On calcule la différence entre deux termes consécutifs. Si un+1 − un est constant, la suite est arithmétique.
Comment reconnaître une suite géométrique ?
Lorsque les termes sont non nuls, on calcule leur quotient. Si un+1 / un est constant, la suite est géométrique.
Une hausse régulière en pourcentage forme-t-elle une suite arithmétique ?
Non. Une hausse en pourcentage multiplie la valeur précédente par un coefficient constant. Elle forme donc une suite géométrique.
Pourquoi les formules changent-elles entre u₀ et u₁ ?
Parce que le nombre d’étapes n’est pas identique. Du rang 0 au rang n, il y a n transformations. Du rang 1 au rang n, il y en a n − 1.
Comment étudier une suite géométrique positive ?
Si q > 1, elle est croissante. Si q = 1, elle est constante. Si 0 < q < 1, elle est décroissante.
Combien de termes contient la somme de u₄ à u₁₂ ?
Elle contient 12 − 4 + 1 = 9 termes. Les deux termes situés aux extrémités sont inclus dans la somme.
Faut-il relier les points représentant une suite ?
Non. Les rangs sont des nombres entiers. La représentation graphique d’une suite est donc constituée de points isolés.
Poursuivez avec la méthode de la QRC en mathématiques
Après avoir étudié les différents chapitres du programme, apprenez à organiser votre brouillon, présenter vos calculs et construire une réponse courte, complète et vérifiable.
Étudier la méthode QRC