Probabilités, dénombrement et lois discrètes
Apprenez à compter les issues possibles, modéliser une expérience aléatoire, utiliser les probabilités conditionnelles et étudier les lois de Bernoulli et binomiale ainsi que leur espérance.
Une probabilité quantifie la possibilité qu’un événement se réalise
Tirage d’une carte, contrôle d’un produit, réponse à une question ou réussite d’une opération : une expérience aléatoire possède plusieurs résultats possibles sans que l’on puisse prévoir avec certitude lequel se produira.
Recenser
Déterminer l’ensemble des résultats possibles sans oubli ni double comptage.
Calculer
Utiliser les règles adaptées aux événements simples, contraires ou composés.
Interpréter
Relier le résultat mathématique à la situation et à la fréquence attendue.
Probable ne signifie pas certain
Une probabilité de 0,9 indique qu’un événement est très vraisemblable, mais il peut ne pas se produire. À l’inverse, un événement peu probable demeure possible tant que sa probabilité n’est pas nulle.
Univers, issue et événement
La première étape consiste à décrire précisément l’expérience et l’ensemble de ses résultats possibles.
| Notion | Définition | Exemple avec un dé |
|---|---|---|
| Expérience aléatoire | Expérience dont le résultat ne peut être prévu avec certitude. | Lancer un dé équilibré à six faces. |
| Issue | Résultat élémentaire possible. | Obtenir 4. |
| Univers Ω | Ensemble de toutes les issues. | Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. |
| Événement | Sous-ensemble de l’univers. | A : « obtenir un nombre pair » = {2, 4, 6}. |
| Événement certain | Événement égal à l’univers. | Obtenir un nombre compris entre 1 et 6. |
| Événement impossible | Événement ne contenant aucune issue. | Obtenir 8. |
Événement contraire
A̅ signifie que l’événement A ne se réalise pas.
Intersection
Les événements A et B se réalisent simultanément.
Réunion
Au moins l’un des deux événements se réalise.
A et B sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas se réaliser ensemble : A ∩ B = ∅ et donc P(A ∩ B) = 0.
Arrangements, permutations et combinaisons
Le choix de la formule dépend de trois questions : l’ordre compte-t-il, tous les éléments sont-ils utilisés et les répétitions sont-elles autorisées ?
| Situation | L’ordre compte ? | Formule | Usage |
|---|---|---|---|
| Principe multiplicatif | Selon le problème | n₁ × n₂ × … × nₖ | Choix successifs comportant plusieurs possibilités. |
| Permutation de n éléments | Oui | n! | Ordonner tous les éléments. |
| Arrangement de p éléments parmi n | Oui | n!/(n−p)! | Choisir et ordonner p éléments. |
| Combinaison de p éléments parmi n | Non | n!/[p!(n−p)!] | Choisir un groupe sans tenir compte de l’ordre. |
Factorielle
Par convention, 0! = 1.
Arrangement
AB et BA sont considérés comme deux résultats différents.
Combinaison
Le groupe {A,B} est identique au groupe {B,A}.
Parmi 8 candidats, on attribue trois places distinctes.
= 336
L’ordre compte : il existe 336 podiums possibles.
On choisit 3 personnes parmi 8, sans fonction particulière.
= (8 × 7 × 6)/(3 × 2 × 1)
= 56
Il existe 56 groupes différents.
La question décisive : l’ordre change-t-il le résultat ?
Pour un podium, oui : être premier n’est pas équivalent à être troisième. Pour former une commission sans fonction particulière, non : l’ordre dans lequel les personnes sont choisies ne crée pas un nouveau groupe.
Probabilité simple, contraire, réunion et intersection
Lorsque toutes les issues sont équiprobables, la probabilité d’un événement se calcule en divisant le nombre d’issues favorables par le nombre total d’issues.
Équiprobabilité
Cette formule exige que toutes les issues aient la même probabilité.
Événement contraire
Très utile pour calculer « au moins un ».
Réunion
On retire l’intersection comptée deux fois.
Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard. Calculons la probabilité d’obtenir un cœur ou un roi.
4 rois, donc P(R) = 4/32.
Le roi de cœur appartient aux deux événements : P(C∩R) = 1/32.
P(C∪R) = 8/32 + 4/32 − 1/32
= 11/32
Le réflexe du contraire
Pour calculer la probabilité d’obtenir au moins un succès, il est souvent plus simple de calculer la probabilité de n’obtenir aucun succès, puis de soustraire ce résultat à 1.
La probabilité conditionnelle
Conditionner par B signifie calculer la probabilité de A en sachant que B s’est réalisé. L’univers de référence est alors réduit à B.
Si P(B) ≠ 0, alors PB(A) = P(A ∩ B) / P(B). On utilise aussi la notation P(A | B).
Probabilité conditionnelle
Le dénominateur est la probabilité de l’événement dont on sait qu’il est réalisé.
Probabilité d’une intersection
Cette relation correspond au produit des probabilités le long d’un chemin.
Sur 200 personnes, 120 utilisent les transports en commun. Parmi elles, 72 possèdent un abonnement annuel.
= 72/120
= 0,60
Parmi les personnes utilisant les transports en commun, 60 % possèdent un abonnement annuel.
Le dénominateur dépend du conditionnement
Si l’on demande une probabilité « parmi les utilisateurs des transports », le dénominateur est le nombre d’utilisateurs, et non l’effectif total.
Construire et lire un arbre pondéré
L’arbre pondéré représente les différentes étapes d’une expérience. Chaque branche porte la probabilité correspondant au choix réalisé.
Première étape
Depuis chaque branche
Sur un nœud
La somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud vaut 1.
Le long d’un chemin
On multiplie les probabilités pour obtenir celle de l’intersection correspondante.
Plusieurs chemins
On additionne les probabilités des chemins conduisant au même événement final.
Une pièce provient de l’atelier A avec une probabilité de 0,60. Parmi les pièces de cet atelier, 3 % sont défectueuses.
= 0,60 × 0,03
= 0,018
La probabilité qu’une pièce provienne de A et soit défectueuse est égale à 1,8 %.
La formule des probabilités totales
Lorsque plusieurs événements forment une partition de l’univers, la probabilité d’un événement final s’obtient en additionnant les probabilités des chemins qui y conduisent.
P(B) = P(A) × PA(B) + P(A̅) × PA̅(B).
L’atelier A produit 60 % des pièces et présente 3 % de défauts. L’atelier B produit 40 % des pièces et présente 5 % de défauts.
= 0,60 × 0,03 + 0,40 × 0,05
= 0,018 + 0,020
= 0,038
La probabilité qu’une pièce choisie au hasard soit défectueuse est égale à 3,8 %.
Vérifier que tous les chemins ont été pris en compte
Si une pièce peut provenir de trois ateliers, la probabilité totale doit comporter trois termes. Oublier une origine revient à ignorer une partie de l’univers.
Conditionnement et indépendance
Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre.
Définition
Cette égalité permet de vérifier l’indépendance.
Forme conditionnelle
Valable lorsque P(A) ≠ 0.
Expériences répétées
Lorsque les répétitions sont indépendantes.
On lance deux fois une pièce équilibrée.
= 1/2 × 1/2
= 1/4
Le résultat du premier lancer ne modifie pas la probabilité du résultat du second.
Indépendants ne signifie pas incompatibles
Deux événements incompatibles ne peuvent pas se réaliser ensemble. Deux événements indépendants peuvent se réaliser simultanément : la réalisation de l’un ne change simplement pas la probabilité de l’autre.
Variables aléatoires et lois de probabilité discrètes
Une variable aléatoire discrète associe une valeur numérique à chaque issue d’une expérience. Sa loi indique les probabilités des différentes valeurs possibles.
| Valeur xᵢ | x₁ | x₂ | … | xₖ |
|---|---|---|---|---|
| P(X = xᵢ) | p₁ | p₂ | … | pₖ |
Valeurs possibles
La variable prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs.
Probabilités positives
Chaque probabilité pᵢ est comprise entre 0 et 1.
Somme égale à 1
La somme des probabilités de toutes les valeurs possibles vaut 1.
On lance un dé équilibré. Le joueur gagne 4 € s’il obtient 6 et perd 1 € dans les autres cas.
| Gain X | −1 | 4 |
|---|---|---|
| Probabilité | 5/6 | 1/6 |
Épreuve de Bernoulli et loi binomiale
Une épreuve de Bernoulli possède deux issues : succès et échec. La répétition indépendante de n épreuves identiques conduit à une loi binomiale.
Loi de Bernoulli
X vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec.
Loi binomiale
X compte le nombre de succès obtenus lors de n répétitions indépendantes.
Si X suit la loi B(n ; p), alors P(X = k) = C(n,k) × pk × (1−p)n−k.
Une opération réussit avec une probabilité p = 0,30. Elle est répétée indépendamment 5 fois. On note X le nombre de réussites.
P(X = 2) = C(5,2) × 0,30² × 0,70³
= 10 × 0,09 × 0,343
= 0,3087
La probabilité d’obtenir exactement deux réussites est de 0,3087, soit environ 30,87 %.
Aucun succès
Toutes les épreuves se terminent par un échec.
Tous les succès
Toutes les épreuves se terminent par un succès.
Au moins un succès
On utilise l’événement contraire « aucun succès ».
Vérifier les trois conditions
La loi binomiale exige un nombre fixé de répétitions, deux issues à chaque épreuve, une probabilité de succès constante et l’indépendance des répétitions.
Calculer et interpréter l’espérance
L’espérance représente la valeur moyenne que l’on peut attendre lorsque l’expérience est répétée un grand nombre de fois dans les mêmes conditions.
Variable discrète
Chaque valeur est pondérée par sa probabilité.
Loi binomiale
On attend en moyenne np succès sur n épreuves.
Le joueur gagne 4 € avec une probabilité de 1/6 et perd 1 € avec une probabilité de 5/6.
= 4/6 − 5/6
= −1/6
L’espérance est négative : sur un grand nombre de parties, la perte moyenne théorique est de 1/6 € par partie.
L’espérance n’est pas nécessairement une valeur possible
Une espérance de 1,8 succès ne signifie pas que l’on peut obtenir exactement 1,8 succès lors d’une expérience. Elle représente une moyenne théorique sur de nombreuses répétitions.
Traiter une QRC de probabilités
Une réponse complète définit les événements, choisit une représentation, applique la formule adaptée et interprète la probabilité obtenue.
Écrivez les événements avant de calculer
Noter A : « la pièce provient de l’atelier A » et D : « la pièce est défectueuse » rend la démonstration plus claire et limite les confusions entre P(A ∩ D), PA(D) et P(D).
Les quatre réflexes à conserver
Dénombrer
Déterminer si l’ordre compte avant de choisir arrangement ou combinaison.
Conditionner
Dans PB(A), l’univers de référence est réduit à B.
Arbre
Multiplier le long d’un chemin et additionner les chemins utiles.
Binomiale
Vérifier répétitions identiques, indépendance et probabilité constante.
Décrire l’expérience → déterminer l’univers → définir les événements → dénombrer → choisir tableau ou arbre → calculer intersections et conditionnements → identifier une éventuelle loi → déterminer l’espérance → interpréter.
Consolider les notions essentielles
Quelle différence entre une issue et un événement ?
Une issue est un résultat élémentaire. Un événement peut regrouper une ou plusieurs issues.
Quand utiliser une combinaison ?
Lorsqu’on choisit plusieurs éléments sans tenir compte de leur ordre, par exemple pour former un groupe sans attribuer de fonction.
Comment calculer « au moins un succès » ?
Il est souvent plus simple d’utiliser l’événement contraire : P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0).
Quelle différence entre P(A∩B) et PA(B) ?
P(A∩B) est la probabilité que A et B se réalisent. PA(B) est la probabilité de B sachant que A est réalisé.
Comment vérifier que deux événements sont indépendants ?
On vérifie l’égalité P(A∩B) = P(A) × P(B).
Quand peut-on utiliser une loi binomiale ?
Lorsque l’on répète indépendamment n fois une même épreuve de Bernoulli avec une probabilité de succès constante p.
Que signifie l’espérance d’une loi binomiale ?
Si X suit B(n ; p), E(X) = np représente le nombre moyen théorique de succès lors d’un grand nombre de séries de n épreuves.
Faut-il donner une probabilité en décimal ou en pourcentage ?
Les deux sont possibles selon la consigne. Une probabilité de 0,32 correspond à 32 %. Conservez la valeur exacte pendant les calculs puis arrondissez à la fin.
Poursuivez avec les suites numériques
Après avoir étudié les probabilités et les lois discrètes, découvrez comment les suites arithmétiques et géométriques permettent de modéliser des évolutions successives.
Étudier les suites