Statistiques et ajustement affine
Apprenez à décrire une population, calculer des effectifs, des fréquences, des taux d’évolution et des moyennes pondérées. Étudiez ensuite les séries à deux variables, les nuages de points et leur ajustement par une droite.
La statistique transforme des données en informations utiles
Une série de données brute est rarement directement exploitable. Les outils statistiques permettent de la résumer, de la comparer, de mettre en évidence une évolution et d’étudier une éventuelle relation entre deux grandeurs.
Organiser
Classer les valeurs, déterminer les effectifs et calculer les fréquences.
Résumer
Utiliser une moyenne simple ou pondérée pour caractériser le niveau général.
Modéliser
Représenter deux variables et rechercher une tendance à l’aide d’une droite.
Un indicateur ne raconte jamais toute l’histoire
Deux séries peuvent avoir la même moyenne tout en étant très différentes. Une interprétation sérieuse tient compte du contexte, de la répartition des valeurs, des unités et des limites des données disponibles.
Population, individu, caractère et modalité
Avant tout calcul, il faut déterminer précisément ce qui est observé, sur qui porte l’étude et quelle information est recueillie.
| Notion | Définition | Exemple |
|---|---|---|
| Population | Ensemble des individus étudiés. | Les 200 agents d’un service. |
| Individu | Élément de la population observée. | Un agent du service. |
| Caractère | Propriété étudiée sur chaque individu. | Le temps de trajet domicile-travail. |
| Modalité | Valeur ou catégorie prise par le caractère. | 30 minutes. |
| Échantillon | Sous-ensemble de la population effectivement observé. | 50 agents interrogés sur 200. |
Caractère qualitatif
Il décrit une catégorie : moyen de transport, statut ou commune de résidence.
Quantitatif discret
Il prend des valeurs isolées, souvent entières : nombre d’enfants ou de dossiers.
Quantitatif continu
Il peut prendre toute valeur dans un intervalle : durée, taille ou masse.
L’individu statistique n’est pas nécessairement une personne. Il peut s’agir d’une entreprise, d’un ménage, d’une commune, d’une opération ou d’une période.
Effectifs, fréquences et fréquences cumulées
L’effectif compte le nombre d’observations correspondant à une modalité. La fréquence mesure la part de cette modalité dans l’effectif total.
Effectif total
On additionne les effectifs de toutes les modalités.
Fréquence
La somme des fréquences est égale à 1, soit 100 %.
Pourcentage
Une fréquence de 0,28 correspond à 28 %.
| Nombre d’heures de révision | Effectif | Fréquence | Pourcentage |
|---|---|---|---|
| 2 | 6 | 6/40 = 0,15 | 15 % |
| 4 | 14 | 14/40 = 0,35 | 35 % |
| 6 | 12 | 12/40 = 0,30 | 30 % |
| 8 | 8 | 8/40 = 0,20 | 20 % |
Contrôle : 15 % + 35 % + 30 % + 20 % = 100 %.
Effectifs cumulés
Pour déterminer le nombre d’individus dont la valeur est inférieure ou égale à un seuil, on additionne successivement les effectifs depuis la plus petite valeur jusqu’au seuil retenu.
Moyenne simple, moyenne pondérée et linéarité
La moyenne résume une série par une valeur centrale. Lorsque certaines valeurs apparaissent plusieurs fois ou n’ont pas le même poids, il faut calculer une moyenne pondérée.
Moyenne simple
Chaque valeur possède le même poids.
Moyenne pondérée
Chaque valeur est multipliée par son effectif ou son coefficient.
Avec les fréquences
Cette formule s’applique lorsque la somme des fréquences vaut 1.
Reprenons les temps de révision 2, 4, 6 et 8 heures, observés respectivement 6, 14, 12 et 8 fois.
= (12 + 56 + 72 + 64) / 40
= 204 / 40
= 5,1
Le temps moyen de révision est de 5,1 heures.
Ajouter une constante
Si l’on ajoute le même nombre b à toutes les valeurs, la moyenne augmente également de b.
Multiplier par une constante
Si toutes les valeurs sont multipliées par a, leur moyenne est elle aussi multipliée par a.
Si une nouvelle variable est définie par y = ax + b, alors sa moyenne vérifie ȳ = ax̄ + b.
Calculer et interpréter un taux d’évolution
Le taux d’évolution mesure la variation relative entre une valeur initiale et une valeur finale. Il ne doit pas être confondu avec la variation absolue.
Variation absolue
Elle s’exprime dans la même unité que les valeurs étudiées.
Taux d’évolution
Pour obtenir un pourcentage, on multiplie le résultat par 100.
Coefficient multiplicateur
Le taux doit être écrit sous forme décimale dans cette formule.
Une valeur passe de 240 à 276.
= 36 / 240
= 0,15 = 15 %
La valeur a augmenté de 15 %.
Après une hausse de 8 %, une valeur atteint 540.
Vi × 1,08 = 540
Vi = 540 / 1,08
Vi = 500
La valeur initiale était égale à 500.
Deux évolutions successives ne s’additionnent pas
Une hausse de 10 % suivie d’une baisse de 10 % donne 1,10 × 0,90 = 0,99. La valeur finale est donc inférieure de 1 % à la valeur initiale.
Les séries statistiques à deux variables
Une série à deux variables associe à chaque individu deux valeurs numériques. On cherche à déterminer si l’évolution de l’une semble liée à celle de l’autre.
Variable x
Elle peut représenter le temps, une quantité, un investissement ou une autre grandeur explicative.
Variable y
Elle représente la grandeur étudiée en fonction de x : coût, résultat, production ou population.
Couple (xᵢ ; yᵢ)
Chaque observation devient un point dont l’abscisse est xᵢ et l’ordonnée yᵢ.
| Année x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de dossiers y | 120 | 132 | 147 | 158 | 174 |
Le point moyen G possède pour coordonnées (x̄ ; ȳ). Il résume la position centrale du nuage et appartient à la droite d’ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés.
Construire et interpréter un nuage de points
Le nuage de points permet d’observer visuellement la forme de la relation entre deux variables et de juger si un ajustement affine semble pertinent.
Tendance croissante
Le nuage monte globalement : lorsque x augmente, y tend aussi à augmenter.
Tendance décroissante
Le nuage descend globalement : lorsque x augmente, y tend à diminuer.
Forme allongée
Des points proches d’une droite rendent un ajustement affine plausible.
Nuage dispersé
Une forte dispersion limite la qualité et la portée des prévisions.
Une association statistique ne prouve pas une causalité
Deux variables peuvent évoluer ensemble sans que l’une soit la cause de l’autre. Une troisième variable ou une simple coïncidence peut expliquer la relation observée.
L’ajustement affine par une droite
Lorsque les points sont approximativement alignés, on peut résumer leur tendance par une droite d’équation y = ax + b.
Équation
a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine.
Coefficient directeur
Cette formule utilise deux points distincts de la droite.
Ordonnée à l’origine
Après avoir trouvé a, on utilise les coordonnées d’un point.
Une droite d’ajustement passe par A(1 ; 132) et B(4 ; 174).
= 42 / 3
= 14
b = 132 − 14 × 1
= 118
y = 14x + 118
Selon ce modèle, la grandeur y augmente en moyenne de 14 unités lorsque x augmente d’une unité.
Interpréter le coefficient directeur
Le coefficient a représente la variation estimée de y lorsque x augmente d’une unité. Son interprétation doit toujours mentionner les unités et le contexte de l’exercice.
Interpolation, extrapolation et limites des prévisions
Une droite d’ajustement permet d’estimer une valeur de y à partir de x, ou parfois de rechercher la valeur de x correspondant à un objectif donné.
Avec le modèle y = 14x + 118, estimons y pour x = 6.
= 84 + 118
= 202
Le modèle prévoit environ 202 unités au rang 6.
À quel rang le modèle atteint-il 230 unités ?
14x = 112
x = 8
Selon le modèle, le seuil de 230 unités est atteint au rang 8.
Interpolation
L’estimation porte sur une valeur située à l’intérieur de l’intervalle des données observées. Elle reste une approximation.
Extrapolation
L’estimation dépasse l’intervalle observé. Plus on s’en éloigne, plus la prévision devient fragile.
Une droite d’ajustement n’est pas une boule de cristal
Elle prolonge une tendance observée sous l’hypothèse que cette tendance se poursuit. Une rupture économique, réglementaire, technique ou sociale peut rendre la prévision inexacte.
Traiter une QRC de statistiques
Une réponse efficace identifie les données, choisit l’indicateur approprié, présente le calcul et interprète le résultat dans le contexte.
Le calcul seul ne suffit pas
Écrire « 0,18 » ne répond pas complètement à une question sur une évolution. Il faut préciser, par exemple : « la valeur a augmenté de 18 % entre les deux périodes étudiées ».
Les quatre réflexes à conserver
Dénominateur
Une fréquence et un taux d’évolution n’utilisent pas nécessairement le même dénominateur.
Pondération
Une moyenne doit tenir compte des effectifs ou coefficients associés aux valeurs.
Graphique
Chaque couple (xᵢ ; yᵢ) devient un point du nuage.
Prévision
Un ajustement donne une estimation, jamais une certitude absolue.
Identifier la population → organiser les données → calculer effectifs et fréquences → déterminer une moyenne ou un taux → représenter les couples → observer la tendance → établir une droite → estimer → interpréter avec prudence.
Consolider les notions essentielles
Quelle différence entre effectif et fréquence ?
L’effectif est un nombre d’individus. La fréquence est la proportion représentée par cet effectif dans la population totale.
Quand utiliser une moyenne pondérée ?
Lorsque les valeurs n’apparaissent pas le même nombre de fois ou sont associées à des coefficients différents.
Quelle différence entre variation absolue et taux d’évolution ?
La variation absolue est Vf − Vi. Le taux rapporte cette variation à la valeur initiale : (Vf − Vi)/Vi.
À quoi sert un nuage de points ?
Il permet de visualiser une éventuelle relation entre deux variables numériques et de juger si un ajustement affine paraît pertinent.
Que représente le coefficient directeur d’une droite d’ajustement ?
Il mesure la variation estimée de y lorsque x augmente d’une unité.
Une corrélation prouve-t-elle un lien de cause à effet ?
Non. Une relation statistique peut être due à une autre variable, au hasard ou à un mécanisme indirect.
Quelle différence entre interpolation et extrapolation ?
L’interpolation estime à l’intérieur des données observées ; l’extrapolation prolonge le modèle au-delà et est généralement plus incertaine.
Faut-il arrondir les résultats ?
Oui lorsque cela est demandé ou pertinent, mais uniquement à la fin du calcul afin de limiter les erreurs d’arrondi.
Poursuivez avec les probabilités
Après avoir appris à décrire des données observées, étudiez les expériences aléatoires, le dénombrement, les probabilités conditionnelles et les principales lois discrètes.
Étudier les probabilités