Calcul et nombres – Concours contrôleur DGFiP
Maîtrisez les bases du calcul numérique : nombres entiers et relatifs, décimaux, fractions, opérations, priorités de calcul et valeurs approchées.
Sécuriser les calculs de base
Une grande partie des erreurs en mathématiques ne vient pas d’une notion compliquée, mais d’une erreur de signe, de priorité, de fraction ou de virgule.
Ces fondamentaux doivent donc devenir suffisamment solides pour pouvoir ensuite aborder sereinement les pourcentages, les puissances et l’algèbre.
Les différents types de nombres
Les nombres peuvent appartenir à plusieurs catégories. Pour le QCM, il faut surtout savoir les reconnaître et les manipuler.
| Type | Définition | Exemples |
|---|---|---|
| Entiers naturels | Nombres entiers positifs ou nuls. | 0 ; 1 ; 2 ; 18 ; 250 |
| Entiers relatifs | Entiers positifs, négatifs ou nuls. | -8 ; -1 ; 0 ; 5 ; 17 |
| Décimaux | Nombres pouvant être écrits avec un nombre fini de chiffres après la virgule. | 2,5 ; -4,75 ; 0,02 |
| Rationnels | Nombres pouvant s’écrire sous forme d’une fraction de deux entiers, avec dénominateur non nul. | 1/2 ; -7/3 ; 0,25 |
Un même nombre peut appartenir à plusieurs catégories. Par exemple, 5 est un entier naturel, un entier relatif, un nombre décimal et un nombre rationnel.
Les nombres relatifs
Les nombres relatifs peuvent être positifs ou négatifs. Le signe doit être surveillé avec attention dans toutes les opérations.
Comparer deux nombres relatifs
5 > 2
3 > -4
-2 > -7
Le nombre le plus proche de zéro est le plus grand : -3 > -8.
Addition de nombres relatifs
On additionne les valeurs et on conserve le signe.
5 + 3 = 8
-5 + (-3) = -8
On soustrait les valeurs absolues et on conserve le signe du nombre ayant la plus grande valeur absolue.
-8 + 3 = -5
Multiplication et division
| Signes | Résultat |
|---|---|
| + × + | + |
| – × – | + |
| + × – | – |
| – × + | – |
Même signe = positif.
Signes différents = négatif.
Les quatre opérations
Addition, soustraction, multiplication et division constituent la base de tous les calculs numériques.
Addition
125 + 38 = 163
Soustraction
125 – 38 = 87
Multiplication
24 × 5 = 120
Division
120 ÷ 5 = 24
Il est impossible de diviser un nombre par zéro. Une expression comme 5 ÷ 0 n’est pas définie.
Vérifier un résultat
Les opérations inverses permettent souvent de contrôler rapidement un calcul :
- addition ↔ soustraction ;
- multiplication ↔ division.
120 ÷ 5 = 24.
Vérification : 24 × 5 = 120.
Les priorités opératoires
Lorsqu’une expression contient plusieurs opérations, elles ne sont pas effectuées simplement de gauche à droite.
1. Parenthèses
2. Puissances
3. Multiplications et divisions
4. Additions et soustractions
Exemple simple
La multiplication est prioritaire :
6 + 12 = 18
Faire d’abord 6 + 4 = 10 puis 10 × 3 = 30 est incorrect.
Avec des parenthèses
Les parenthèses sont prioritaires :
10 × 3 = 30
Opérations de même priorité
Les multiplications et divisions de même niveau se traitent de gauche à droite. Même principe pour les additions et soustractions.
20 ÷ 5 × 2
= 4 × 2
= 8
Les fractions
Une fraction représente le quotient de deux nombres.
Numérateur et dénominateur
3 est le numérateur
5 est le dénominateur
Simplifier une fraction
On divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
12/18 = 2/3
On a divisé 12 et 18 par 6.
Addition et soustraction
Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut un dénominateur commun.
2/7 + 3/7 = 5/7
1/2 + 1/3
1/2 = 3/6
1/3 = 2/6
3/6 + 2/6 = 5/6
Multiplication
Numérateur × numérateur et dénominateur × dénominateur.
2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6
Division
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
2/3 ÷ 5/4 = 2/3 × 4/5 = 8/15
On ne peut pas additionner directement les dénominateurs : 1/2 + 1/3 n’est pas égal à 2/5.
Les nombres décimaux
Un nombre décimal possède une écriture décimale finie. La position de la virgule détermine la valeur de chaque chiffre.
| Nombre | Lecture |
|---|---|
| 0,1 | un dixième |
| 0,01 | un centième |
| 0,001 | un millième |
Multiplier par 10, 100 ou 1 000
4,25 × 10 = 42,5
4,25 × 100 = 425
4,25 × 1 000 = 4 250
Diviser par 10, 100 ou 1 000
425 ÷ 10 = 42,5
425 ÷ 100 = 4,25
425 ÷ 1 000 = 0,425
Avant de valider le résultat, vérifiez l’ordre de grandeur. Multiplier par 100 doit produire un nombre cent fois plus grand, pas cent fois plus petit.
Valeurs exactes et valeurs approchées
Une valeur exacte donne le résultat sans approximation. Une valeur approchée est obtenue notamment par arrondi ou troncature.
Arrondir un nombre
Pour arrondir, on regarde le chiffre situé immédiatement après la position demandée.
Si le chiffre suivant est inférieur à 5, on conserve.
S’il est égal ou supérieur à 5, on augmente le chiffre conservé d’une unité.
Arrondi au dixième : 7,4
Arrondi au centième : 7,37
Troncature
Lors d’une troncature, on supprime simplement les chiffres situés après la position retenue, sans arrondir.
Troncature de 7,368 au centième : 7,36
Estimer avant de calculer
Une estimation permet de vérifier rapidement si un résultat est plausible.
49,8 × 20,2 est proche de 50 × 20, donc le résultat doit être proche de 1 000
Si les réponses proposées sont 10, 100, 1 000 et 10 000, une estimation peut suffire à trouver la bonne réponse sans effectuer le calcul exact.
Vérifiez vos acquis
Faites les calculs mentalement ou sur brouillon avant de revenir au cours.
5 + 3 × 4
(-4) × (-6)
18/24
1/4 + 1/2
Quel résultat obtenez-vous ?
-4 ou -9 ?
Passez maintenant à la divisibilité
Une fois les nombres et les opérations maîtrisés, poursuivez avec les multiples, diviseurs, nombres premiers, critères de divisibilité, PGCD et PPCM.