Puissances et racines – Concours contrôleur DGFiP
Apprenez à manipuler les puissances d’exposant entier, les puissances de 10, la notation scientifique et les racines carrées, et à appliquer correctement leurs règles de calcul.
Simplifier les écritures et les calculs
Les puissances permettent d’écrire de manière compacte des multiplications répétées. Elles sont également indispensables pour manipuler de très grands ou de très petits nombres grâce à la notation scientifique.
Les racines carrées fonctionnent en quelque sorte dans l’autre sens : elles permettent notamment de retrouver le nombre dont le carré donne une valeur donnée.
Définition d’une puissance
Une puissance permet d’écrire plus simplement la multiplication répétée d’un même nombre.
Le nombre a est appelé la base et n l’exposant.
5³ = 5 × 5 × 5 = 125
Carré et cube
Une puissance d’exposant 2 est appelée un carré. Une puissance d’exposant 3 est appelée un cube.
6² = 36
4³ = 64
Exposant 1
Tout nombre élevé à la puissance 1 est égal à lui-même.
Exposant 0
Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 est égal à 1.
5⁰ = 1
(-8)⁰ = 1
Les principales règles sur les puissances
Plusieurs règles permettent de simplifier rapidement les calculs faisant intervenir des puissances.
Produit de puissances de même base
Lorsque des puissances de même base sont multipliées, on additionne les exposants.
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128
Quotient de puissances de même base
Dans un quotient de puissances de même base, on soustrait les exposants.
5⁶ ÷ 5² = 5⁴ = 625
Puissance d’une puissance
Lorsqu’une puissance est elle-même élevée à une puissance, on multiplie les exposants.
(3²)⁴ = 3⁸.
Puissance d’un produit
(2 × 5)³ = 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1 000
Puissance d’un quotient
Les exposants ne se distribuent pas sur une addition : (a + b)² n’est pas égal à a² + b²
Les exposants négatifs
Un exposant négatif correspond à l’inverse de la puissance ayant l’exposant positif correspondant.
2⁻³ = 1 / 2³ = 1/8
10⁻² = 1/100 = 0,01
Un exposant négatif ne signifie pas que le résultat est négatif. 2⁻³ est positif et vaut 1/8.
Cas d’une fraction
(2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4
Les puissances de 10
Les puissances de 10 permettent d’écrire très simplement des nombres très grands ou très petits.
| Puissance | Valeur |
|---|---|
| 10⁰ | 1 |
| 10¹ | 10 |
| 10² | 100 |
| 10³ | 1 000 |
| 10⁴ | 10 000 |
| 10⁻¹ | 0,1 |
| 10⁻² | 0,01 |
| 10⁻³ | 0,001 |
Pour un exposant positif, 10ⁿ correspond à 1 suivi de
n zéros
Pour un exposant négatif, la puissance correspond à une fraction
de plus en plus petite.
Multiplier par une puissance de 10
3,7 × 10² = 370
3,7 × 10⁻² = 0,037
Comprendre qu’on multiplie par 100 ou par 0,01 permet de contrôler immédiatement le sens du déplacement et d’éviter les erreurs.
La notation scientifique
Un nombre écrit en notation scientifique prend la forme :
avec 1 ≤ |a| < 10 et n entier relatif.
48 000 = 4,8 × 10⁴
0,00052 = 5,2 × 10⁻⁴
Trouver l’exposant
On déplace la virgule jusqu’à obtenir un nombre dont la valeur absolue est comprise entre 1 et 10.
Nombre initial supérieur ou égal à 10 → exposant positif.
Nombre initial compris entre -1 et 1, hors zéro → exposant négatif.
Multiplier deux nombres en notation scientifique
(2 × 10³) × (3 × 10⁴)
= (2 × 3) × 10³⁺⁴
= 6 × 10⁷
Diviser deux nombres en notation scientifique
(8 × 10⁶) ÷ (2 × 10²)
= (8 ÷ 2) × 10⁶⁻²
= 4 × 10⁴
48 × 10³ représente bien 48 000, mais ce n’est pas une notation scientifique normalisée puisque 48 n’est pas compris entre 1 et 10. On écrit 4,8 × 10⁴.
Les racines carrées
Pour un nombre réel positif ou nul a, la racine carrée de a est l’unique nombre positif ou nul dont le carré est égal à a.
√25 = 5 car 5² = 25.
√81 = 9 car 9² = 81.
√25 vaut 5 et non ±5. En revanche, l’équation x² = 25 possède deux solutions : x = 5 et x = -5.
Carrés parfaits utiles
| Nombre | Carré | Racine correspondante |
|---|---|---|
| 1 | 1² = 1 | √1 = 1 |
| 2 | 2² = 4 | √4 = 2 |
| 3 | 3² = 9 | √9 = 3 |
| 4 | 4² = 16 | √16 = 4 |
| 5 | 5² = 25 | √25 = 5 |
| 6 | 6² = 36 | √36 = 6 |
| 7 | 7² = 49 | √49 = 7 |
| 8 | 8² = 64 | √64 = 8 |
| 9 | 9² = 81 | √81 = 9 |
| 10 | 10² = 100 | √100 = 10 |
Les carrés des entiers de 1 à 10 doivent être reconnus immédiatement. Cela facilite énormément les calculs et estimations.
Calculer avec les racines carrées
Racine d’un produit
Pour des nombres positifs ou nuls a et b :
√36 = √(4 × 9)
= √4 × √9
= 2 × 3 = 6
Simplifier une racine
72 = 36 × 2
√72 = √36 × √2
= 6√2
Racine d’un quotient
Pour a positif ou nul et b strictement positif :
√(25/4) = √25 / √4 = 5/2
Addition de racines
On ne peut additionner directement que des termes comportant la même racine.
3√2 + 5√2 = 8√2
√a + √b n’est généralement pas égal à √(a + b).
Par exemple : √9 + √16 = 3 + 4 = 7, alors que √25 = 5.
Valeurs approchées des racines
Certaines racines carrées ne donnent pas un nombre entier ou un nombre décimal fini.
√2 ≈ 1,414
Encadrer une racine sans calculatrice
On peut comparer le nombre aux carrés parfaits voisins.
7² = 49
8² = 64
Donc : 7 < √50 < 8
Estimer davantage
Comme 50 est très proche de 49, √50 est légèrement supérieur à 7.
√50 ≈ 7,07
Si les réponses proposées sont 4,8 ; 7,1 ; 12,5 et 25, inutile de calculer précisément √50 : l’encadrement entre 7 et 8 suffit immédiatement.
Le nombre π
Le nombre π est un nombre irrationnel fréquemment rencontré en mathématiques.
Selon la précision demandée, on peut notamment utiliser 3,14 comme valeur approchée.
Une expression contenant π ou √2 peut constituer une valeur exacte. Dès que l’on remplace ces nombres par une écriture décimale arrondie, on obtient une valeur approchée
Vérifiez vos acquis
Essayez de résoudre ces questions sans remonter dans le cours.
2⁴ × 2³
5⁶ ÷ 5⁴
0,1 · 0,01 · 0,001 · -1 000 ?
Quelle puissance de 10 faut-il utiliser ?
√48
Quels carrés parfaits pouvez-vous utiliser ?
Passez aux pourcentages et à la proportionnalité
Poursuivez avec un chapitre particulièrement utile pour le QCM : proportions, règle de trois, pourcentages, taux d’évolution, moyennes et calculs commerciaux.