Algèbre
Maîtrisez le calcul littéral, les polynômes, le développement, la factorisation, les identités remarquables, les équations, les inéquations et les systèmes nécessaires au QCM.
Passer du calcul numérique au calcul littéral
L’algèbre remplace certaines valeurs par des lettres afin de représenter une quantité inconnue ou une relation générale. Les règles de calcul restent les mêmes : il faut simplement apprendre à manipuler correctement les expressions contenant ces lettres.
Dans le cadre du QCM, l’essentiel est de savoir réduire, développer, factoriser et résoudre méthodiquement sans se laisser piéger par les signes.
Le calcul littéral
Une expression littérale est une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres représentant des nombres.
3x + 5
2a² – 4a + 7
5(x – 3)
La multiplication implicite
En calcul littéral, le signe × est généralement supprimé entre un nombre et une lettre.
Remplacer une lettre par une valeur
A = 3x + 4
Pour x = 5 :
A = 3 × 5 + 4 = 15 + 4 = 19
Réduire une expression
Réduire consiste à regrouper les termes semblables.
3x + 5x = 8x
4x + 3 + 2x – 7
= 4x + 2x + 3 – 7
= 6x – 4
3x + 5 ne vaut pas 8x. Les termes 3x et 5 ne sont pas semblables.
Monômes et polynômes
Un monôme est une expression constituée d’un produit entre un nombre et une ou plusieurs puissances de variables.
5x
-3x²
7ab
Coefficient et partie littérale
Dans 5x² :
- 5 est le coefficient ;
- x² est la partie littérale.
Le polynôme
Un polynôme est une somme de plusieurs monômes.
3x² + 5x – 7
Degré d’un polynôme
Pour un polynôme à une variable, son degré est le plus grand exposant de la variable dont le coefficient est non nul.
P(x) = 4x³ – 2x² + 7x – 1
Le degré du polynôme est 3
Multiplier des monômes
On multiplie les coefficients et on applique les règles sur les puissances.
3x² × 4x³
= 3 × 4 × x² × x³
= 12x⁵
x² × x³ = x⁵ car, pour un produit de puissances de même base, on additionne les exposants.
Développer une expression
Développer consiste à transformer un produit en une somme ou une différence.
Distributivité simple
k(a + b) = ka + kb
3(x + 5)
= 3x + 15
Avec une soustraction
4(x – 3)
= 4x – 12
Facteur négatif
-2(x – 4)
= -2x + 8.
Lorsque le facteur extérieur est négatif, chaque terme situé dans la parenthèse doit être multiplié par ce nombre négatif.
Double distributivité
(x + 2)(x + 3)
= x² + 3x + 2x + 6
= x² + 5x + 6
Chaque terme de la première parenthèse doit multiplier chaque terme de la seconde.
Les identités remarquables
Les identités remarquables sont des égalités à reconnaître rapidement. Elles servent à développer mais également à factoriser.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b)(a – b) = a² – b²
Carré d’une somme
(x + 3)²
= x² + 2 × x × 3 + 3²
= x² + 6x + 9
Carré d’une différence
(x – 4)²
= x² – 8x + 16.
Somme par différence
(x + 5)(x – 5)
= x² – 25
(a + b)² n’est pas égal à a² + b². Le terme 2ab ne doit pas disparaître.
Factoriser une expression
Factoriser est l’opération inverse du développement : on transforme une somme ou une différence en produit.
Rechercher un facteur commun
ka + kb = k(a + b)
6x + 18
= 6(x + 3).
5x² + 10x
= 5x(x + 2)
Factoriser avec une identité remarquable
x² – 25
= x² – 5²
= (x + 5)(x – 5)
x² + 6x + 9
= (x + 3)²
Développer : produit → somme.
Factoriser : somme → produit.
Les équations du premier degré
Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre l’équation consiste à trouver les valeurs qui rendent cette égalité vraie.
On peut effectuer la même opération sur les deux membres d’une équation sans modifier ses solutions.
Équation simple
x + 5 – 5 = 12 – 5
x = 7
Avec multiplication
x = 28 ÷ 4
x = 7
Forme ax + b = c
3x = 19 – 4
3x = 15
x = 15 ÷ 3
x = 5
Inconnue dans les deux membres
5x – 3x = 12 – 2
2x = 10
x = 5
Avec des parenthèses
2x + 6 = 14
2x = 8
x = 4
Vérifier une solution
Il suffit de remplacer x par la valeur obtenue dans l’équation initiale.
2 × (4 + 3) = 2 × 7 = 14.
La solution est correcte.
Lorsque quatre valeurs sont proposées, il peut parfois être plus rapide de les tester directement dans l’équation plutôt que de réaliser toute la résolution algébrique.
Les inéquations du premier degré
Une inéquation ressemble à une équation mais utilise un signe d’inégalité.
| Signe | Signification |
|---|---|
| < | strictement inférieur à |
| > | strictement supérieur à |
| ≤ | inférieur ou égal à |
| ≥ | supérieur ou égal à |
Exemple simple
x > 10 – 4
x > 6
Avec un coefficient positif
x ≤ 15 ÷ 3
x ≤ 5
Multiplication ou division par un nombre négatif
Lorsque l’on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif, le sens de l’inégalité s’inverse
On divise par -2.
Le signe s’inverse :
x < -3
Dans une équation, diviser par -2 ne pose aucun problème particulier. Dans une inéquationil faut en plus inverser le signe d’inégalité.
Les systèmes de deux équations à deux inconnues
Un système cherche des valeurs de x et y qui vérifient simultanément deux équations.
x + y = 10
x – y = 2
Méthode par addition
On additionne les deux équations :
Les y s’annulent :
Donc :
On remplace ensuite x dans l’une des équations :
6 + y = 10
y = 4
La solution est donc : x = 6 et y = 4.
Méthode par substitution
x + y = 7
x = 2y + 1
On remplace x dans la première équation :
Donc :
Puis :
x = 5 et y = 2.
La substitution est pratique lorsqu’une inconnue est déjà isolée. L’addition ou l’élimination est souvent plus rapide lorsque les coefficients permettent de supprimer facilement une inconnue.
Résoudre un problème du premier degré
Dans un problème, la difficulté consiste généralement moins à résoudre l’équation qu’à la construire correctement à partir de l’énoncé.
1. Choisir l’inconnue.
2. Traduire l’énoncé en expression ou en équation.
3. Résoudre.
4. Vérifier que le résultat répond réellement à la question.
Exemple simple
Un nombre augmenté de 8 vaut 23. Quel est ce nombre ?
On appelle x le nombre recherché.
Donc :
Exemple avec un prix
Trois articles identiques et 5 € de frais coûtent au total 50 €. Quel est le prix d’un article ?
On note x le prix d’un article.
Donc :
Chaque article coûte donc 15 €.
Exemple avec deux inconnues
Une salle contient 30 personnes réparties entre adultes et enfants. Il y a 8 adultes de plus que d’enfants. Combien y a-t-il d’adultes et d’enfants ?
On note :
- x = nombre d’adultes ;
- y = nombre d’enfants.
On obtient :
En additionnant :
Donc :
Puis :
Il y a 19 adultes et 11 enfants
Si une équation représentant un nombre de personnes donne x = -3 ou x = 4,5, le calcul doit être contrôlé : le résultat ne correspond pas à la situation réelle décrite par l’énoncé.
Lisez la question finale avant de commencer les calculs. Un problème peut fournir beaucoup de données alors qu’une seule relation est réellement nécessaire pour trouver la réponse.
Les règles essentielles
| Notion | Règle |
|---|---|
| Réduction | Regrouper uniquement les termes semblables. |
| Distributivité | k(a + b) = ka + kb |
| Carré d’une somme | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
| Carré d’une différence | (a – b)² = a² – 2ab + b² |
| Différence de deux carrés | a² – b² = (a + b)(a – b) |
| Équation | Effectuer la même opération sur les deux membres. |
| Inéquation | Inverser le signe si l’on multiplie ou divise par un nombre négatif. |
| Système | Trouver des valeurs vérifiant simultanément les deux équations. |
Vérifiez vos acquis
Faites les calculs avant de revenir aux exemples du cours.
7x + 3 – 2x + 5
4(x – 3)
(x + 5)²
8x + 24
x² – 49
5x + 3 = 28
-3x > 12
x + y = 12
x – y = 4
Quatre articles identiques auxquels s’ajoutent 8 € de frais coûtent 60 €. Quel est le prix d’un article ?
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Calcul et nombres, divisibilité, puissances et racines, proportionnalité, mesures et algèbre : revenez maintenant sur les notions les moins maîtrisées et faites suffisamment d’exercices pour transformer les méthodes en automatismes.